Barisan Cauchy

Secara sederhana, Barisan Cauchy adalah suatu barisan yang semakin lama jarak antara suku-sukunya semakin kecil. Secara formal didefinisikan sebagai berikut:

Barisan $\left ( a_{n} : n \in N \right )$ dari bilangan-bilangan real disebut Barisan Cauchy bila dan hanya bila untuk tiap $\varepsilon > 0$ ada bilangan asli $n_{0}$ sedemikian hingga untuk $n, m > n_{0}$, maka $\left | a_{n} - a_{m} \right |< \varepsilon$.

Jadi, suatu barisan dikatakan Barisan Cauchy jika setelah suku ke-$n_{0}$ maka jarak suku yang satu dengan yang lainnya akan selalu kurang dari $\varepsilon$.

Contoh 1

Misal $\left ( a_{n} : n \in N \right )$ adalah Barisan Cauchy dari bilangan-bilangan bulat, yaitu tiap-tiap unsur dari barisan tersebut termasuk set $B=\left \{ ..., -1, 0, 1,... \right \} $.

Maka barisan tersebut haruslah berbentuk:

$\left ( a_{1}, a_{2}, ...,a_{n_{0}}, b, b, b,... \right )$

Yaitu suatu barisan konstan sesudah unsur yang ke $n_{0}$ misal bila kita pilih $\varepsilon =\frac{1}{2}$ maka, bila $a_{n},a_{m}\in B$ dan $\left | a_{n} - a_{m} \right |< \frac{1}{2}$ maka $a_{n} = a_{m}$.

Sifat-sifat Barisan Cauchy:

• Setiap barisan Cauchy terbatas
• Suatu barisan bilangan real adalah konvergen bila hanya bila ia Barisan Cauchy

Contoh 2

Kita tunjukkan bahwa setiap barisan konvergen adalah Barisan Cauchy.

Bila $a_{n} \Rightarrow b$ dan $\varepsilon > 0$ maka $n_{0}\in N$ yang cukup besar sedemikian hingga:

• Bila $n> n_{0}$, $\left | a_{n} - b \right |< \frac{1}{2}\varepsilon $, dan
• Bila $m> n_{0}$, $\left | a_{m} - b \right |< \frac{1}{2}\varepsilon $.

Akibat $n, m > n_{0}$ maka:

$\left | a_{n}-a_{m} \right |=\left | a_{n}-b+b-a_{m} \right |\leq \left | a_{n}-b \right |+\left | b-a_{m} \right |< \frac{1}{2}\varepsilon +\frac{1}{2}\varepsilon=\varepsilon $

Jadi barisan $\left ( a_{n} \right )$ adalah Barisan Cauchy.

Contoh 3

Kita tunjukkan $\frac{1}{n}$ adalah Barisan Cauchy. Diberikan $\varepsilon > 0$ sebarang. Selalu ada bilangan asli $n_{0}$ sehingga $n_{0}> \frac{2}{\varepsilon }$. Jadi untuk setiap $m, n > n_{0}$ berlaku $\frac{1}{m}< \frac{\varepsilon }{2}$ dan $\frac{1}{n}< \frac{\varepsilon }{2}$.

Jadi:

$\left | a_{n}-a_{m} \right |=\left | \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right |\leq \left | \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \right |< \frac{1}{2}\varepsilon +\frac{1}{2}\varepsilon=\varepsilon$

Diberikan barisan $X=\left ( 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...,\frac{1}{n},... \right )$

Atau bisa ditulis $X=\left ( 1;0,5;0,33;0,25;...,\frac{1}{n},... \right )$

Misalkan ambil $\varepsilon =\frac{1}{2};n_{0}=2=0,5;n=3=0,33;m=4=0,25$.

Demikian tentang materi barisan cauchy. Barangkali sobat juga sedang mencari materi berikut:

• Distribusi Binomial
• Distribusi Poisson
• Distribusi Hipergeometrik