Distribusi Binomial: Pengertian, Ciri-Ciri dan Rumus

Artikel ini membahas salah satu materi probabilitas dan juga statistika matematika yaitu mengenai distribusi binomial

Pengertian Distribusi Binomial

Dalam satistika matematika, distribusi binomial sering juga disebut distribusi Bernoulli. Distribusi binomial ditemukan oleh James Bernoulli. Distribusi binomial adalah suatu distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-ekor.

Ciri-ciri Distribusi Binomial

1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal.
2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.
3. Percobaannya bersifat independen atau dengan pengembalian, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.
4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

Contoh:

Seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan berganda, setiap pertanyaan memiliki satu jawaban benar. Jika dalam menjawab pertanyaan, mahasiswa tersebut berspekulasi 5 jawaban benar maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah:

1. Untuk menjawab benar, $P\left ( B \right )=\frac{1}{5}$
2. Untuk menjawab salah, $P\left ( S \right )=\frac{4}{5}$

Misalkan susunan 5 jawaban benar adalah B B B B B S maka:

$P\left ( \text{B B B B B S} \right )=P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( S \right )$

$P\left ( \text{B B B B B S} \right )=\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{4}{5}$

$P\left ( \text{B B B B B S} \right )=\left ( \frac{1}{5} \right )^{5}\text{ }\left ( \frac{4}{5} \right )^{1}$

Kemungkinan lain susunan 5 jawaban benar adalah B B B S B B, sehingga:

$P\left ( \text{B B B S B B} \right )=P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( S \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )$

$P\left ( \text{B B B S B B} \right )=\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{4}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}$

$P\left ( \text{B B B S B B} \right )=\left ( \frac{1}{5} \right )^{5}\text{ }\left ( \frac{4}{5} \right )^{1}$

Ternyata, probabilitas 5 jawaban benar dari 6 pertanyaan adalah sama untuk susunan mana pun. Banyaknya kemungkinan susunan 5 benar dan 1 salah dapat dicari dengan menggunakan rumus kombinasi.

\[C_{x}^{n}=\frac{n!}{x!\left ( n-x \right )!}\]

Untuk kasus di atas, memiliki $n=6$, $x=5$, sehingga terdapat:

$C_{5}^{6}=\frac{6!}{5!\left ( 6-5 \right )!}$

$C_{5}^{6}=6$ susunan

Jika semua susunan tersebut dituliskan, akan terlihat:

1. B B B B B S
2. B B B B S B
3. B B B S B B
4. B B S B B B
5. B S B B B B
6. S B B B B B

Untuk menentukan probabilitas menjawab 5 pertanyaan benar $\left ( P\left ( 5 \right ) \right )$ adalah dengan menjumlahkan probabilitas dari kombinasi banyaknya susunan jawaban benar, $C_{5}^{6}=6$ susunan. Karena probabilitas setiap susunan adalah sama maka probabilitas menjawab 5 pertanyaan benar $\left ( P\left ( 5 \right ) \right )$ dapat pula dihitung dengan mengalikan $C_{5}^{6}$ dengan probabilitas salah satu susunannya.

Jadi:

$P\left ( 5 \right )=C_{5}^{6}\times \left ( \frac{1}{5} \right )^{5}\times \left ( \frac{4}{5} \right )^{1}$

$P\left ( 5 \right )=0,0015$

Dengan melakukan cara yang sama seperti di atas, untuk menghitung probabilitas menjawab dengan jawaban benar maka dapat dibuat distribusi binomial, dari peristiwa di atas.

$P\left ( 6 \right )=C_{6}^{6}\times \left ( \frac{1}{5} \right )^{6}\times \left ( \frac{4}{5} \right )^{0}$

$P\left ( 6 \right )=0,0001$

$P\left ( 4 \right )=C_{4}^{6}\times \left ( \frac{1}{5} \right )^{4}\times \left ( \frac{4}{5} \right )^{2}$

$P\left ( 4 \right )=0,0154$

Dan seterusnya . . .

Dari perhitungan di atas maka bisa dibuat tabel distribusi binomial dengan jawaban benar, yaitu:

Jumlah Jawaban Benar (x)	P(x)
0	0,2621
1	0,3932
2	0,2458
3	0,0819
4	0,0154
5	0,0015
6	0,0001
Jumlah	1,0000

Rumus Distribusi Binomial

a. Rumus binomial suatu peristiwa

Secara umum rumus probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan:

$P\left ( X=x \right )=b\left ( x;n,p \right )=C_{x}^{n}\times p^{x}\times q^{n-x}$

Keterangan:

$x$ = banyaknya peristiwa sukses

$n$ = banyak percobaan

$p$ = probabilitas peristiwa sukses

$q$ = $1-p$ = probabilitas peristiwa gagal

Catatan: Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES.

b. Contoh soal:

1. Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut!
   • Mata dadu 5 muncul 1 kali.
   • Mata dadu genap muncul 2 kali.
   • Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali.
   
   
   Penyelesaian:
   • Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memiliki probabilitas $\frac{1}{6}$. Jadi, probabilitas untuk mata 5 adalah $\frac{1}{6}$, sehingga:
   $p=\frac{1}{6}$; $q=\frac{5}{6}$, $n=4$, $x=1$ [muncul 1 kali]
   $P\left ( X=1 \right )=C_{1}^{4}\times p^{1}\times q^{4-1}$
   $P\left ( X=1 \right )=4\times \left ( \frac{1}{6} \right )^{1}\times \left ( \frac{5}{6} \right )^{3}$
   $P\left ( X=1 \right )=0,3858$
   
   
   • Mata dadu genap ada 3, yaitu 2, 4, 6, sehingga:
   $p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$; $q=\frac{1}{2}$, $n=4$, $x=2$ [muncul 2 kali]
   $P\left ( X=2 \right )=C_{2}^{4}\times p^{2}\times q^{4-2}$
   $P\left ( X=2 \right )=6\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}$
   $P\left ( X=2 \right )=0,3750$
   
   
   • Muncul mata dadu 2 atau 6 $\left ( \text{ada 2} \right )$, sehingga:
   $p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$; $q=\frac{2}{3}$, $n=4$, $x=4$ [muncul 4 kali]
   $P\left ( X=4 \right )=C_{4}^{4}\times p^{4}\times q^{4-4}$
   $P\left ( X=4 \right )=1\times \left ( \frac{1}{3} \right )^{4}\times \left ( \frac{2}{3} \right )^{0}$
   $P\left ( X=4 \right )=0,0123$


2. Sebuah mesin yang memproduksi semacam alat, ternyata terdapat 5% rusak. Jika secara acak diambil 10 buah dari alat tersebut untuk diselidiki, berapa probabilitas akan terdapat:
   • dua rusak,
   • tidak ada yang rusak?
   
   
   Penyelesaian:
   $n=10$; $p=5%=0,05$; $q=0,95$
   • Dua rusak, $x=2$
   $P\left ( X=2 \right )=C_{2}^{10}\times p^{2}\times q^{10-2}$
   $P\left ( X=2 \right )=45\times \left ( 0,05 \right )^{2}\times \left ( 0,95 \right )^{8}$
   $P\left ( X=2 \right )=0,075$
   
   
   • Tidak ada yang rusak, $x=0$
   $P\left ( X=0 \right )=C_{0}^{10}\times p^{0}\times q^{10-0}$
   $P\left ( X=0 \right )=1\times \left ( 0,05 \right )^{0}\times \left ( 0,95 \right )^{10}$
   $P\left ( X=0 \right )=0,599$

Demikian saja materi tentang Distribusi Binomial, semoga bermanfaat. Jika teman-teman membutuhkan file .pdf-nya silahkan download melalui link berikut:

Distribusi Binomial from Eman Mendrofa