Distribusi Poisson

Pengertian Distribusi Poisson

Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi, ditemukan oleh S.D. Poisson (1781 – 1841), seorang ahli matematika bangsa Prancis. Distribusi poisson termasuk distribusi teoretis yang memakai variabel random diskrit. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.

Ciri-ciri Distribusi Poisson

Distribusi Poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut.

1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah.
2. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah tersebut.
3. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.

Contoh:
Peristiwa datangnya kendaraan yang lewat dalam suatu interval waktu di suatu ruas jalan. Dari peristiwa tersebut, dapat diamati hal-hal berikut.

• Tingkat kedatangan rata-rata kendaraan dapat dihitung berdasarkan data masa lalu.
• Tingkat kedatangan rata-rata kendaraan per satuan waktu adalah konstan.
• Banyaknya kedatangan kendaraan dalam suatu interval waktu tertentu merupakan peristiwa independen (bebas).
• Probabilitas kedatangan kendaraan-kendaraan itu dalam suatu interval waktu adalah sangat kecil, dan dapat dikatakan mendekati nol.

Kegunaan Distribusi Poisson

Distribusi Poisson banyak digunakan dalam hal berikut.

1. Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, seperti menghitung probabilitas dari:
   • banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan;
   • banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air;
   • banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku;
   • banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama minggu pertama bulan Oktober.
2. Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p < 0,1)

Rumus Distribusi Poisson

a. Rumus Probabilitas Poisson Suatu Peristiwa 

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:

\[P\left ( X=x \right )=\frac{\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!}\]

Keterangan:
$\lambda$ = rata-rata terjadinya suatu peristiwa bilangan alam
$e$ = bilangan natural = bilangan euler = 2,71828

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson bisa juga dirumuskan:

\[P\left ( X=x \right )=\frac{e^{-\lambda t}\left ( \lambda t \right )^{x}}{x!}\]

Keterangan:
$\lambda$ = tingkat kedatangan rata-rata per satuan waktu
$t$ = banyaknya satuan waktu
$x$ = banyaknya kedatangan dalam 𝑡 satuan waktu
$e$ = bilangan alam = 2,71828

Contoh soal

1. Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson, berapa probabilitas untuk penjualan berikut?
   

   • 0 lampu TL
   • 3 lampu TL

   
   Penyelesaian:
   $\lambda =5$; $e^{-5}=2,71828^{-5}=0,00674$
   
   

   • 0 lampu TL (𝑥 = 0)
   $P\left ( X=0 \right )=\frac{\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!}=\frac{5 ^{0}\times \left ( 0,00674^{-5 } \right )}{0!}=\frac{1\left ( 0,00674 \right )}{1}=0,00674 $
   
   
   • 3 lampu TL (𝑥 = 3)
   $P\left ( X=3 \right )=\frac{\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!}=\frac{5 ^{3}\times \left ( 0,00674^{-5 } \right )}{3!}=\frac{125\left ( 0,00674 \right )}{6}=0,14$


2. Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman terdapat 80 kata yang salah cetak dan berdistribusi secara acak dalam halaman-halaman majalah tersebut. Hitung probabilitas, seandainya sebuah halaman majalah tersebut dibuka:
   

   • tidak terdapat salah cetak,
   • 4 kata yang salah cetak!

   
   Penyelesaian:
   $n=80;\text{ }p=\frac{1}{120}$
   $\lambda =n\times p=80\times \frac{1}{120}=0,67$
   
   

   • tidak terdapat salah cetak (𝑥 = 0)
   $P\left ( X=0 \right )=\frac{\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!}=\frac{\left ( 0,67^{0} \right )\times \left ( 2,71828^{-0,67 } \right )}{0!}=\frac{1\left ( 0,512 \right )}{1}=0,512$
   
   
   • 4 kata yang salah cetak (𝑥 = 4)
   $P\left ( X=0 \right )=\frac{\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!}=\frac{\left ( 0,67^{4} \right )\times \left ( 2,71828^{-0,67 } \right )}{4!}=\frac{0,202\left ( 0,512 \right )}{24}=0,004$


3. Ruang gawat darurat sebuah rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak 4 orang per hari. Kedatangan pasien mengikuti proses Poisson.
   

   • Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien per hari?
   • Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien sampai pada siang hari saja?

   
   Penyelesaian:
   $t=1;\text{ }\lambda =4;\text{ }x=2$
   
   

   • 2 pasien per hari
   $P\left ( X=2 \right )=\frac{e^{-\lambda t}\left ( \lambda t \right )^{x}}{x!}=\frac{\left ( 2,71828 \right )^{-4\times 1}\times \left ( 4\times 1 \right )^{2}}{2!}=\frac{0,018\times 16}{2}=0,1465 $
   
   
   • 2 pasien sampai pada siang hari (𝑥 = 2) berarti $t=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$
   $P\left ( X=2 \right )=\frac{e^{-\lambda t}\left ( \lambda t \right )^{x}}{x!}=\frac{\left ( 2,71828 \right )^{-4\times \frac{1}{2}}\times \left ( 4\times \frac{1}{2} \right )^{2}}{2!}=\frac{0,135\times 4}{2}=0,271$

b. Probabilitas distribusi Poisson kumulatif 

Probabilitas Poisson kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa Poisson lebih dari satu. Probabilitas Poisson kumulatif (PPK) dapat dihitung dengan rumus:

$PPK=\sum_{x=0}^{n}\frac{\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!}$

$PPK=\sum_{x=0}^{n}P\left ( X=x \right )$

$PPK=P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )+P\left ( X=2 \right )+...+P\left ( X=n \right )$

Contoh soal

1. Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson.
   

   • Tentukan probabilitas penjualan paling banyak 2 lampu!
   • Andaikan persediaan (stock) lampu sisa 3, berapa probabilitas permintaan lebih dari 3 lampu?

   
   Penyelesaian:
   $\lambda =5;\text{ }e^{-5}=2,71828^{-5}=0,00674$
   
   

   • Paling banyak 2 lampu (𝑥 = 0, 1, 2)
   $P\left ( X=0,1,2 \right )=\sum_{x=0}^{2}P\left ( X=x \right )$
   
   
   $P\left ( X=0,1,2 \right )=P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )+P\left ( X=2 \right )$
   
   
   $P\left ( X=0,1,2 \right )=0,125$
   
   
   • Permintaan lebih dari 3 lampu (𝑥 ≥ 3)
   $P\left ( X\geq 3 \right )=1-\sum_{x=0}^{2}P\left ( X=x \right )$
   
   
   $P\left ( X\geq 3 \right )=1-P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )+P\left ( X=2 \right )+P\left ( X=3 \right )$
   
   
   $P\left ( X\geq 3 \right )=0,735$


2. Suatu mesin diturunkan untuk diperbaiki rata-rata 2 kali sebulan. Penurunan mesin lebih dari 4 kali menyebabkan rencana produksi tidak tercapai. Jika penurunan mesin mengikuti proses Poisson, berapa probabilitas rencana produksi tidak tercapai?
   
   Penyelesaian:
   $\lambda =2;\text{ }e^{-2}=2,71828^{-2}=0,135$
   
   $P\left ( X\geq 4 \right )=1-\sum_{x=0}^{n}P\left ( X=x \right )$
   
   $P\left ( X\geq 4 \right )=1-P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )+...+P\left ( X=4 \right )$
   
   $P\left ( X\geq 4 \right )=1-0,947=0,053 $

c. Distribusi Poisson sebagai pendekatan distribusi binomial 

Distribusi Poisson sebagai pendekatan distribusi binomial dirumuskan:

\[P\left ( X=x \right )=\frac{\left ( n\times p \right )^{x}\times e^{-n\times p}}{x!}\]

Keterangan:
$n \times p$ = rata-rata distribusi binomial

Contoh soal

Sebuah konveksi pakaian menggunakan 20 mesin jahit. Probabilitas sebuah mesin jahit mengalami dan memerlukan perbaikan adalah 0,02. Tentukan probabilitas dari 3 mesin yang akan mengalami gangguan dan memerlukan perbaikan, gunakan pendekatan Poisson dan binomial!

Penyelesaian:

• Pendekatan Poisson
  
  $n=20;\text{ }p=0,02;\text{ }x=3$
  
  
  $P\left ( X=x \right )=\frac{\left ( n\times p \right )^{x}\times e^{-n\times p}}{x!}$
  
  
  $P\left ( X=3 \right )=\frac{\left ( 20\times 0,02 \right )^{3}\times \left ( 2,71828 \right )^{-20\times 0,02}}{3!}$
  
  
  $P\left ( X=3 \right )=\frac{\left ( 0,4 \right )^{3}\times \left ( 2,71828 \right )^{-0,4}}{6}$
  
  
  $P\left ( X=3 \right )=\frac{\left ( 0,064 \right )\times \left ( 0,67032 \right )}{6}=0,0072$


• Pendekatan binomial
  
  $n=20;\text{ }p=0,02;\text{ }x=3;\text{ }q=1-0,02=0,98$
  
  
  $P\left ( X=x \right )=c_{x}^{n}\times p^{x}\times q^{n-x}$
  
  
  $P\left ( X=3 \right )=c_{3}^{20}\times 0,02^{3}\times 0,98^{20-3}$
  
  
  $P\left ( X=3 \right )=1.140\times 0,000008\times 0,71$
  
  
  $P\left ( X=3 \right )=0,0065$

Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Poisson

Distribusi Poisson memiliki rata-rata (mean), varians, dan simpangan baku sebagai berikut:

• Rata-rata Distribusi Poisson
  
  

  $E\left ( X \right )=\mu =\lambda =n\times p$


• Varians Distribusi Poisson
  
  

  $E\left ( X-\lambda \right )^{2}=\sigma ^{2}=n\times p$


• Simpangan baku Distribusi Poisson
  
  

  $\sigma=\sqrt{\lambda }=\sqrt{n\times p}$

Demikian tentang materi distribusi poisson. Silahkan download file pdf-nya melalui link berikut:

Distribusi Poisson