Distribusi Hipergeometrik

Pengertian Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan dua kejadian yang berkomplemen, seperti halnya distribusi binomial.

Perbedaan yang utama antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah pada cara pengambilan sampelnya. Pada distribusi binomial pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian, sedangkan pada distribusi hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.

Dari penjelasan di atas, bisa disimpulkan bahwa distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok objek atau populasi yang dipilih tanpa pengembalian.

Distribusi hipergeometrik memiliki kedua sifat berikut:

1. Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda
2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N – k, diberi nama gagal

Rumus Distribusi Hipergeometrik

Secara umum, distribusi hipergeometrik dirumuskan:

\[P\left ( X=x \right )=h\left ( x;N,n,k \right )=\frac{C_{k}^{n}C_{N-k}^{n-x}}{C_{N}^{n}}\]

Keterangan:

N = ukuran populasi

n = ukuran sampel

k = banyaknya unsur yang sama pada populasi

x = banyaknya peristiwa sukses

Distribusi hipergeometrik dapat diperluas, seperti berikut ini.

Jika dari populasi yang berukuran N terdapat unsur-unsur yang sama, yaitu 𝑘_1,𝑘_2,𝑘_3, … ,𝑘_𝑛 dan dalam sampel berukuran n terdapat unsur-unsur yang sama pula, yaitu 𝑥_1,𝑥_2,𝑥_3, …,𝑥_𝑛 dengan 𝑘_1+𝑘_2+𝑘_3+ …+𝑘_𝑛=𝑁 dan 𝑥_1+𝑥_2+𝑥_3+ …+𝑥_𝑛=𝑛, distribusi hipergeometrik dirumuskan:

\[P\left ( X=x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )=\frac{C_{x_{1}}^{k_{1}}C_{x_{2}}^{k_{2}}...C_{x_{n}}^{k_{n}}}{C_{N}^{n}}\]

Contoh soal:

1. Sebuah kotak berisi 50 bola, 5 diantaranya pecah. Apabila diambil 4 bola, berapa probabilitas dua diantaranya pecah?
2. Dari penelitian golongan darah mahasiswa pada sebuah universitas, diketahui bahwa dari 10 mahasiswa terdapat 2 mahasiswa bergolongan darah A, 5 mahasiswa bergolongan darah B, dan 3 mahasiswa bergolongan darah O. Apabila diambil 5 orang mahasiswa, berapa probabilitas seorang mahasiswa memiliki golongan darah A, 2 mahasiswa memiliki golongan darah B, dan 2 mahasiswa memiliki golongan darah O?

Penyelesaian:

1. Probabilitas dua bola pecah dari pengambilan 4 bola adalah $N=50;n=4;k=5;x=2$
$P\left ( X=2 \right )=\frac{C_{2}^{5}C_{4-2}^{50-5}}{C_{4}^{50}}$
$P\left ( X=2 \right )=\frac{C_{2}^{5}C_{2}^{45}}{C_{4}^{50}}$
$P\left ( X=2 \right )=\frac{10\times 990}{230.300}$
$P\left ( X=2 \right )=\frac{9900}{230.300}$
$P\left ( X=2 \right )=0,043$


2. Diketahui:
$N=10;\text{ terdiri dari }k_{1}=2,k_{2}=5,k_{3}=3$
$n=5;\text{ terdiri dari }x_{1}=1,x_{2}=2,x_{3}=2$


$P\left ( X=1,2,2 \right )=\frac{C_{1}^{2}C_{2}^{5}C_{2}^{3}}{C_{5}^{10}}$
$P\left ( X=1,2,2 \right )=\frac{2\times 10\times 3}{252}$
$P\left ( X=1,2,2 \right )=\frac{60}{252}$
$P\left ( X=1,2,2 \right )=0,238$

Perbedaan Distribusi Binomial dan Distribusi Hipergeometrik

Perbedaan utama distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah pada cara pengambilan sampelnya.

Pada distribusi hipergeometrik, probabilitas keberhasilan dalam setiap pengambilan tergantung dari berapa banyak macam sampel dari sebuah populasi dan tergantung sampel yang telah diambil.

Contoh Soal:

Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 bola Putih. Berapa peluang:

1. Terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak dengan pengembalian?
2. Terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa pengembalian?

Penyelesaian

Karena pengambilan sampel pada soal a dilakukan dengan pengembalian berarti soal a diselesaikan dengan distribusi binomial:

$p=\frac{2}{5};q=\frac{3}{5};n=4;x=2$

$P\left ( X=2 \right )=C_{2}^{4}\times p^{2}\times q^{4-2}$

$P\left ( X=2 \right )=6\times \left ( \frac{2}{5} \right )^{4}\times \left ( \frac{3}{5} \right )^{2}$

$P\left ( X=2 \right )=0,3456$

Karena pengambilan sampel pada soal b dilakukan tanpa pengembalian berarti soal b diselesaikan dengan distribusi hipergeometrik:

$N=5;n=4;k=2;x=2$

$P\left ( X=2 \right )=\frac{C_{2}^{2}C_{4-2}^{5-2}}{C_{4}^{5}}$

$P\left ( X=2 \right )=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{3}}{C_{4}^{5}}$

$P\left ( X=2 \right )=\frac{1\times 3}{5}$

$P\left ( X=2 \right )=\frac{3}{5}$

$P\left ( X=2 \right )=0,6$

Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Hipergeometrik

Rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi hipergeometrik $h\left ( x;N,n,k \right )$ adalah:

1. Rata-rata
   
   
   $\mu =\frac{nk}{N}$


2. Varians
   
   
   $\sigma ^{2}=\frac{N-n}{N-1}\times n\times \frac{k}{n}\left ( 1-\frac{k}{n} \right )$


3. Simpangan Baku
   
   
   $\sigma =\sqrt{\frac{N-n}{N-1}\times n\times \frac{k}{n}\left ( 1-\frac{k}{n} \right )}$

Demikian materi tentang distribusi hipergeometrik. File pdf-nya bisa sobat miliki dengan mengklik tombol download berikut.

Download