Titik Kumpul (Cluster Point)

Titik kumpul merupakan titik di mana disekitarnya banyak titik lain yang dekat dengan dirinya. Dalam kajian lain titik kumpul biasa dinamakan dengan titik limit. Mungkin senada dengan istilah mean, modus, dan median dalam statistika.

Himpunan Titik pada Persekitaran

Defenisi:

a. Titik $x\in R$ adalah titik kumpul dari $S\subseteq R$, jika untuk setiap $\varepsilon > 0$, persekitaran $\varepsilon$ dari $x$ memuat paling sedikit satu anggota $S$ yang berbeda dari $x$.

Notasi:

$x\in R\wedge S\subseteq R$

$x \text{ Clp S}\Leftrightarrow \left ( \forall x> 0 \right )\left [ \left ( V_{\varepsilon }\left ( x \right ) \cap S\right )-\left \{ x \right \} \right ]\neq \varnothing $

b. Titik $x\in R$ adalah titik kumpul dari $S\subseteq R$, jika untuk setiap $n\in N$ terdapat $S_{n}$ anggota $S$ sedemikian hingga $0< \left | x-S_{n} \right |< \frac{1}{n}$ .

Notasi:

$x\in R\wedge S\subseteq R$

$x \text{ Clp S}\Leftrightarrow \left ( \forall n> N \right )\left ( \exists S_{n}\in S \right ) \ni 0< \left | x-S_{n} \right |< \frac{1}{n} $

Contoh 1:

Ditentukan $S = (0,1)$. Tunjukkan bahwa $\frac{1}{2}$ cluster point dari $S$.

Penyelesaian: 

Ambil sembarang $\varepsilon > 0$

$V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )=\left ( \frac{1}{2}-\varepsilon ,\frac{1}{2}+\varepsilon \right )$

Harus dicari $y\in S$ dengan $y\neq \frac{1}{2}$, tetapi $y\in \left ( \frac{1}{2}-\varepsilon ,\frac{1}{2}+\varepsilon \right )$

• Jika $\varepsilon > \frac{1}{2}$ , maka $(0,1)\subseteq \left ( \frac{1}{2}-\varepsilon ,\frac{1}{2}+\varepsilon \right )$
  Berarti $V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )\cap (0,1)=(0,1)$
  Jadi, $V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )\cap (0,1)-\left \{ \frac{1}{2} \right \}=\varnothing $
• Jika $\varepsilon \leq \frac{1}{2}$, maka $V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )=\left ( \frac{1}{2}-\varepsilon ,\frac{1}{2}+\varepsilon \right )$
  Ambil $y=\frac{1}{2}-\frac{\varepsilon }{2}$, maka $y\in V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )$ dan $y\neq \frac{1}{2}$, $y\in S$
  Karena $y\in \left ( V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )\cap S \right )-\left \{ \frac{1}{2} \right \}$, maka $\left ( V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )\cap S \right )-\left \{ \frac{1}{2} \right \}\neq \varnothing $

Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa $\frac{1}{2}$ cluster point $S$.

Contoh 2:

Misalkan $S=\left \{ x\in R\mid x\leq 2 \right \}$. Tunjukkan bahwa $2\in R$ titik kumpul dari $S$.

Notasi: $\left ( \forall _{\varepsilon } > 0\right )\left [ \left ( V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )\cap S \right )-\left \{ 2 \right \} \right ]\neq \varnothing $.

Bukti:

Ambil sembarang $\varepsilon > 0$

$V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )=\left ( 2-\varepsilon ,2+\varepsilon \right )$

$V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )\cap S=\left ( 2-\varepsilon ,2+\varepsilon \right )\cap \left ( -\infty ,2 \right )=\left ( 2-\varepsilon ,2 \right )$

$V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )\cap S-\left \{ 2 \right \}=\left ( 2-\varepsilon ,2 \right )-\left \{ 2 \right \}\neq \varnothing $ sebab $\left ( \exists t\in \left ( 2-\varepsilon ,2 \right ),t=2-\frac{1}{2}\varepsilon \right )$ tetapi $t\neq 2$

$\therefore \left ( \forall \varepsilon > 0 \right )\left [ \left ( V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )\cap S \right )-\left \{ 2 \right \} \right ]\neq \varnothing $

$\therefore 2\text{ Clp S}$

Barangkali Anda juga mencari materi berikut:

• Konsep Dasar Probabilitas
• Barisan Cauchy
• Operasi Himpunan