6 Operasi Himpunan Beserta Sifat-Sifatnya

Ulasan saya kali ini mengenai materi mata kuliah teori himpunan dan logika matematika yaitu Operasi Himpunan.

Materi ini juga sebagian dipelajari di jenjang pendidikan SMA. Langsung saja simak materinya melalui ulasan pada artikel ini.

Berikut operasi - operasi yang berlaku pada himpunan beserta sifat dan contoh soal.

Irisan Dua Himpunan

Irisan (interseksi) himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya menjadi anggota A dan anggota B. Operasi himpunan ini biasa ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B} dan dibaca A irisan B.

Contoh:

1. Diketahui: S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, b, c}, B = {b, c, d, e}, C = {d, e, f}. Tunjukkan diagram Venn dari A ∩ B dan B ∩ C.

Jawaban

Anggota S yang menjadi anggota A dan B adalah b dan c maka A ∩ B = {b, c}

Anggota S yang menjadi anggota B dan C adalah d dan e maka B ∩ C = {d, e}

A ∩ B dan B ∩ C ditunjukkan dengan daerah terarsir.

2. Misalkan E = {2, 3, 5, 7, 11} dan F = {3, 6, 9, 12}

Maka E ∩ F = {3}

3. Misalkan K adalah himpunan mahasiswa Prodi Matematika Kelas B Semester I dan L adalah himpunan laki-laki dan perempuan lanjut usia (50 tahun ke atas).

Maka K ∩ L = Ø

Hal ini berarti K dan L adalah saling lepas atau K // L.

Catatan:
* A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama
* Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B

Gabungan Dua Himpunan

Gabungan (union) dua himpunan A dan B berarti penyatuan anggota-anggota himpunan A dan B. Gabungan dua himpunan A dan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B} dan dibaca A gabungan B.

Apabila diketahui n(A) dan n(B) maka berlaku n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).

Contoh:

1. Diketahui S = {x | x ≤ 10, x ∈ N}, A = {1, 2, 3, 6, 8} dan B = {4, 6, 8, 9}. Tunjukkan A ∪ B dengan diagram Venn.

Jawaban:

S = {x | x ≤ 10, x ∈ N}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {6, 8}

Diagram Venn

A ∪ B ditunjukkan dengan daerah terarsir.

2. Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f} maka P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f}

Catatan:
* P ∪ Q dan Q ∪ P merupakan dua himpunan yang sama
* Kedua himpunan P dan Q masing-masing merupakan himpunan bagian pada P ∪ Q

3. Pada sebuah taman kanak-kanak diketahui 43 anak suka melukis, 46 anak suka menyanyi, 20 anak suka keduanya, dan 11 anak tidak suka keduanya. Tentukan jumlah anak di taman kanak-kanak tersebut.

Jawaban:
Misal
P = banyak anak suka melukis
Q = banyak anak suka menyanyi
R = banyak anak tidak suka melukis dan menyanyi
n(P) = 43
n(Q) = 46
n(P ∩ Q) = 20
N(R) = 11
n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) – n(P ∩ Q) = 43 + 46 – 20 = 69
Jumlah anak = n(P ∪ Q) + n(R) = 69 + 11 = 80
Jadi, jumlah anak di taman kanak-kanak tersebut 80.

Komplemen Suatu Himpunan

Komplemen suatu himpunan P adalah himpunan yang terdiri atas semua anggota semesta S tetapi bukan anggota himpunan P.

Ditulis $P^{c}=\left \{ x\mid x\in S \ dan \ x\notin P \right \}$. Komplemen sering juga ditulis dengan $\overline{P}$.

Untuk komplemen suatu himpunan, berlaku $n\left ( s \right )=n\left ( A\cup B \right )+n\left ( A\cup B \right )^{c}$.

Contoh:

1. Diketahui $S=\left \{ x\mid -4< x< 3,x\in Z \right \}$ dan $A=\left \{ x\mid 0\leq x\leq 2,x\in Z \right \}$. Tunjukkan $A^{c}$ dengan diagram Venn.

Jawaban:

$S=\left \{ x\mid -4< x\leq 3,x\in Z \right \}$

$S =\left \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\right \}$

$A=\left \{ x\mid 0\leq x\leq 2,x\in Z \right \}$

$A=\left \{ 0,1,2 \right \}$

$A^{c}=\left \{ -3,-2,-1,3 \right \}$

Diagram Venn

$A^{c}$ ditunjukkan dengan daerah terarsir.

2. Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d, e, f, g, h} maka P$^{c}$ = {d, e, f, g, h}.

3. A ∪ A$^{c}$ = S dan A ∩ A$^{c}$ = $\varnothing $

4. S$^{c}$ = $\varnothing $ dan $\varnothing^{c}$ = S

5. (A$^{c}$)$^{c}$ = A

6. Dari 48 orang mahasiswa, 27 orang mahasiswa gemar matematika, 20 orang mahasiswa gemar fisika, 7 orang gemar matematika dan fisika. Tentukanlah banyaknya mahasiswa tidak gemar matematika dan fisika, buatlah diagram Venn-nya.

Jawaban:

Misalkan:
A = gemar matematika
B = gemar fisika
n(S) = 48
n(A) = 27
n(B) = 20
n(A ∩ B) = 7
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 27 + 20 – 7 = 40

n(S) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)$^{c}$

48 = 40 + n(A ∪ B)$^{c}$

n(A ∪ B)$^{c}$ = 48 - 40 = 8

Selisih (Difference) Dua Himpunan

Himpunan P selisih Q adalah himpunan yang anggotanya himpunan P tetapi bukan anggota himpunan Q. Ditulis P – Q = {$x\mid x\in $ P dan $x\notin $ Q} atau P ∩ Q$^{c}$ = {$x\mid x\in $ P dan $x\in $ Q$^{c}$}. P – Q dan P ∩ Q$^{c}$ merupakan dua himpunan yang sama.

Contoh:

1. Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P – Q = P = {a, b, c}

2. Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f} maka P – Q = {a, b}

3. Diketahui S = {$x\mid -4< x\leq 8,x\in $ Z} dan V = {$x\mid -2< x\leq 5,x\in$ Z} dan W = {$x\mid 2< x, x\in $ Z}. Tunjukkan dengan diagram Venn himpunan V – W.

S = {$x\mid -4< x\leq 8,x\in $ Z} = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

V = {$x\mid -2< x\leq 5,x\in$ Z} = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

W = {$x\mid 2< x, x\in $ Z} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

W$^{c}$ = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}

V ∩ W = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} ∩ {3, 4, 5, 6, 7, 8} = {3, 4, 5}

V ∪ W = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

V - W$^{c}$ = V ∩ W$^{c}$ = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} ∩ {-3, -2, -1, 0, 1, 2}

V - W$^{c}$ = {-1, 0, 1, 2}

W$^{c}$ ditunjukkan dengan daerah terarsir.

Jumlah Dua Himpunan

Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukan elemen keduanya.

Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis:

A + B = {$x\mid x\in$ A atau $x\in$ B, dan $x\notin $ A ∩ B}

Contoh:

1. Jika A = {$x\mid x^{2}-8x+12$ = $0$} dan B = {$x\mid x^{2}-4$ = $0$}
maka A + B = {-2,6}

2. P = {$x\mid x^{2}-8x+12$ = $0$} dan Q = {1, 3, 5}
maka P + Q = {1, 2, 3, 5, 6}

3. Diketahui S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u}, A = (a, b, c, d, e} dan B = {a, e, i, o, u}.

Tunjukkan A + B dengan diagram Venn.

Jawaban:

A = (a, b, c, d, e}
B = {a, e, i, o, u}

A + B ditunjukkan dengan daerah terarsir.

Beda Setangkup / Selisih Simetris

Selisih simetris dua himpunan A dan B ditulis A $\oplus $ B. Beda setangkup/selisih simetris adalah himpunan yang elemen-elemen (unsur-unsur) dari P atau dari Q tetapi tidak kedua-duanya.

Notasi: A $\oplus $ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)

Contoh:

Jika A = {2, 4, 6} dan B = {2, 3, 5} maka:
(A ∪ B) = {2, 3, 4, 5, 6}
(A ∩ B) = {2}
A $\oplus $ B = {3, 4, 5, 6}

Atau

A – B = {4, 6}
B – A = {3, 5}
A $\oplus $ B = {3, 4, 5, 6}

Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
A $\oplus $ B = B $\oplus $ A (sifat komutatif)
(A $\oplus $ B) $\oplus $ C = A $\oplus $ (B $\oplus $ C) (sifat asosiatif)

Hukum-Hukum Himpunan

a. Hukum identitas
A ∪ Ø = A
A ∩ S = A

b. Hukum null atau dominasi
A ∩ Ø = Ø
A ∪ S = S

c. Hukum komplemen
A ∪ A$^{c}$ = S
A ∩ A$^{c}$ = Ø

d. Hukum idempotent
A ∪ A = A
A ∩ S = A

e. Hukum involusi
(A$^{c}$)$^{c}$ = A

f. Hukum penyerapan (absorpsi)
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A

g. Hukum komutatif
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

h. Hukum asosiatif
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

i. Hukum distributif
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

j. Hukum De Morgan
(A ∩ B)$^{c}$ = A$^{c}$ $\cup$ B$^{c}$
(A $\cup$ B)$^{c}$ = A$^{c}$ ∩ B$^{c}$

k. Hukum 0/1
$\varnothing ^{c}$ = S
S$^{c}$ = $\varnothing $

Contoh soal tentang Hukum/Dalil De Morgan

Diketahui:
Himpunan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Himpunan A = {1, 2, 3}
Himpunan B = {3, 4}

Ditanya:
Tunjukkan kedua dalil/hukum De Morgan melalui himpunan di atas . . . ?

Jawaban:
A ∩ B = {3}
(A ∩ B)$^{c}$ = {1, 2, 4, 5, 6}
A$^{c}$ = {4, 5, 6}
B$^{c}$ = {1, 2, 5, 6}
A$^{c}$ $\cup$ B$^{c}$ = {4, 5, 6} $\cup$ {1, 2, 5, 6} = {1, 2, 4, 5, 6}
Jadi, (A ∩ B)$^{c}$ = A$^{c}$ $\cup$ B$^{c}$

A $\cup$ B = {1, 2, 3, 4}
(A $\cup$ B)$^{c}$ = {5, 6}
A$^{c}$ = {4, 5, 6}
B$^{c}$ = {1, 2, 5, 6}
A$^{c}$ ∩ B$^{c}$ = {4, 5, 6} ∩ {1, 2, 5, 6} = {5, 6}
Jadi, (A $\cup$ B)$^{c}$ = A$^{c}$ ∩ B$^{c}$

Sifat-sifat yang Berlaku Pada Operasi Himpunan

1. n(S) = n(A $\cup$ B) + n(A $\cup$ B)$^{c}$

2. n(A $\cup$ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

3. n(S) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) + n(A $\cup$ B)$^{c}$

4. n(A$^{c}$) = n(S) - n(A)

5. n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A $\cup$ B)

6. n(A + B) = n(A $\cup$ B) – n(A ∩ B)

7. n(A - B) = n(A) – n(A ∩ B)

8. n(A + A) = 0

9. n(A $\cup$ S) = n(S)

10. n(A ∩ S) = n(A)

11. n(A - S) = 0

12. n(A $\cup$ A$^{c}$) = n(S)

13. n(A ∩ A$^{c}$) = 0

Contoh 1:

Tentukan nilai X dengan diagram venn berikut ini:

Jika n(S) = 16

Jawaban:
Diketahui:
n(S) = 16
n(A) = 3 + x
n(B) = 5 + x
n(A $\cup$ B)$^{c}$ = 6

Ditanya: nilai x [n(A ∩ B)]...?

Penyelesaian:
n(S) = n(A $\cup$ B) + n(A $\cup$ B)$^{c}$
16 = (3 + x) + (5 + x) – x + 6
16 = 3 + x + 5 + x – x + 6
16 = 14 + x
Atau bisa ditulis:
14 + x = 16 (kedua sisi dikurang 14)
14 + x – 14 = 16 – 14
x = 2

Contoh 2:

Perhatikan gambar berikut:

Jika n(S) = 27, tentukan nilai x dan n(A)!

Jawaban:

Diketahui:
n(S) = 27
n(A) = 3x + 6
n(B) = 11
n(A $\cup$ B)$^{c}$ = x
n(A ∩ B) = 6

Ditanya: nilai x dan n(A)...?

Penyelesaian:
n(S) = n(A $\cup$ B) + n(A $\cup$ B)$^{c}$
27 = (3x + 6) + 11 – 6 + x
27 = 3x + 6 + 11– 6 + x
27 = 4x + 11
Atau bisa ditulis:
4x + 11 = 27 (kedua sisi dikurang 11)
4x + 11 – 11 = 27 – 11
4x = 16 (kedua sisi dibagi 4)
x = 4

Jadi, nilai n(A) = 3x + 6
= 3 $\times $ 4 + 6
= 12 + 6
= 18

Jika teman-teman butuh materi lengkapnya, silahkan download file pdf-nya melalui tombol berikut:

Download

Demikian materi tentang operasi himpunan, semoga bermanfaat. Baca juga tentang pengertian dan cara menyatakan himpunan.