Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Logika Matematika: Negasi, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi

Logika Matematika

Saat ini, teman-teman lagi belajar materi logika matematika? Kalau iya, berarti teman-teman sedang membuka artikel yang tepat karena pada artikel ini akan membahas semua materi logika matematika seperti pernyataan, proposisi, ingkaran/negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, dan lain-lain. Untuk memudahkan dalam mempelajarinya, berikut daftar isi materi yang akan dibahas pada artikel ini:



KONSEP TENTANG LOGIKA


Kata logika berasal dari kata “LOGIKE” (bahasa Yunani), yang berhubungan dengan kata benda “LOGOS” yang artinya Pikiran atau Kata.

Dalam KBBI Logika adalah: (1) pengetahuan tentang kaidah berpikir; (2) jalan pikiran yang masuk akal.

Logika didefinisikan sebagai ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar sehingga didapatkan kesimpulan yang absah/valid.

Manusia mampu mengembangkan pengetahuan karena mempunyai bahasa dan kemampuan menalar. Untuk dapat menarik kesimpulan yang tepat, diperlukan kemampuan menalar. Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada, dan menurut aturan-aturan tertentu.

SEJARAH RINGKAS DAN PERKEMBANGAN LOGIKA


Manusia belajar logika sejak jaman Yunani Kuno. Aristoteles (284 - 322 SM) adalah seorang filsuf yang mengembangkan logika pada jaman itu, yang pada waktu itu dikenal dengan sebutan logika tradisional.

Terdapat 5 aliran besar dalam logika, yaitu :
  1. Aliran Logika Tradisional
    Dalam aliran ini, Aristoteles memakai istilah analitika dan dialektika. Dengan analitika dimaksudkan penyelidikan terhadap argumen-argumen yang bertolak dari putusan-putusan yang benar, sedangkan dialektika adalah penyelidikan terhadap argumen-argumen yang bertolak dari putusan-putusan yang masih diragukan kebenarannya.
    Logika tradisional menganggap bahwa logika ditafsirkan sebagai suatu kumpulan aturan praktis yang menjadi petunjuk pemikiran.
  2. Aliran Logika Metafisis
    Susunan pikiran itu dianggap kenyataan, sehingga logika dianggap seperti metafisika. Tugas pokok logika adalah menafsirkan pikiran sebagai suatu tahap dari struktur kenyataan. Sebab itu untuk mengetahui kenyataan, orang harus belajar logika lebih dahulu.
  3. Aliran Logika Epistemologis
    Dipelopori oleh Francis Herbert Bradley (1846 - 1924) dan Bernard Bosanquet (1848 - 1923). Untuk dapat mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran logis dan perasaan harus digabung. Demikian juga untuk mencapai kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan lainnya.
  4. Aliran Logika Instrumentalis (Aliran Logika Pragmatis)
    Dipelopori oleh John Dewey (1859 - 1952). Logika dianggap sebagai alat (instrumen) untuk memecahkan masalah.
  5. Aliran Logika Simbolik
    Dipelopori oleh Leibniz, Boole dan De Morgan. Aliran ini sangat menekankan penggunaan bahasa simbol untuk mempelajari secara terinci, bagaimana akal harus bekerja. Metode-metode dalam mengembangkan matematika banyak digunakan oleh aliran ini, sehingga aliran ini berkembang sangat teknis dan ilmiah serta bercorak matematika, yang kemudian disebut Logika Matematika (Mathematical Logic). G.W. Leibniz (1646 - 1716) dianggap sebagai matematikawan pertama yang mempelajari Logika Simbolik.

    Pada abad kesembilan belas, George Boole (1815 - 1864) berhasil mengembangkan Logika Simbolik. Bukunya yang berjudul Low of Though mengembangkan logika sebagai sistem matematika yang abstrak. Logika Simbolik ini merupakan logika formal yang semata-mata menelaah bentuk dan bukan isi dari apa yang dibicarakan.

    Karena akan dibahas banyak mengenai Logika Simbolik maka berikut ini disampaikan dua pendapat tentang Logika Simbolik yang merangkum keseluruhan maknanya.
    1. Logika simbolik adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah), khususnya yang dikembangkan dengan penggunaan metode-metode matematika dan dengan bantuan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindarkan makna ganda dari bahasa sehari-hari (Frederick B. Fitch dalam bukunya “Symbolic Logic”).
    2. Pemakaian simbol-simbol matematika untuk mewakili bahasa. Simbol-simbol itu diolah sesuai dengan aturan-aturan matematika untuk menetapkan apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah.
Studi tentang logika berkembang terus dan sekarang logika menjadi ilmu pengetahuan yang luas dan yang cenderung mempunyai sifat teknis dan ilmiah. Aljabar Boole, salah satu topik yang merupakan perluasan logika (dan teori himpunan), sekarang ini digunakan secara luas dalam mendesain komputer. Penggunaan simbol-simbol Boole dapat mengurangi banyak kesalahan dalam penalaran.

Ketidakjelasan berbahasa dapat dihindari dengan menggunakan simbol-simbol, karena setelah problem diterjemahkan ke dalam notasi simbolik, penyelesaiannya menjadi bersifat mekanis. Tokoh-tokoh terkenal lainnya yang menjadi pendukung perkembangan logika simbolik adalah De Morgan, Leonard Euler (1707 - 1783), John Venn (1834 - 1923), Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell (1872 - 1970).

PENTINGNYA BELAJAR LOGIKA


Belajar logika (logika simbolik) dapat meningkatkan kemampuan menalar kita, karena dengan belajar logika :
  1. Kita mengenali dan menggunakan bentuk-bentuk umum tertentu dari cara penarikan konklusi/kesimpulan yang absah, dan menghindari kesalahan-kesalahan yang bisa dijumpai.
  2. Kita dapat memperpanjang rangkaian penalaran itu untuk menyelesaikan problem-problem yang lebih kompleks.

PENALARAN LOGIKA


Penalaran dalam logika terdiri dari 2 yaitu:
  1. Penalaran deduktif
    Penalaran deduktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik suatu kesimpulan dengan mengikuti pola penalaran tertentu.

    Contoh:
    Premis 1 : Semua mahasiswa baru mengikuti OSPEK.
    Premis 2 : Fadli adalah mahasiswa baru.
    Kesimpulan : Fadli mengikuti OSPEK.

    Premis adalah pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan.

  2. Penalaran induktif
    Penalaran induktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum.

    Contoh:
    Premis 1 : Ayam-1 berkembang biak dengan telur.
    Premis 2 : Ayam-2 berkembang biak dengan telur.
    Premis 3 : Ayam-3 berkembang biak dengan telur.
    Premis 4 : Ayam-4 berkembang biak dengan telur.
    :
    :
    Premis 50 : Ayam-50 berkembang biak dengan telur.
    Kesimpulan : Semua ayam berkembang biak dengan telur.


PERNYATAAN


Sebelum membahas tentang Pernyataan, akan kita bahas terlebih dahulu apa yang disebut kalimat.

Kalimat merupakan kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa. Kata adalah rangkaian huruf yang mengandung arti.

Jadi bisa disimpulkan Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat berarti yang menerangkan (kalimat deklaratif/indicative sentences).

Contoh :
1. 4 kurang dari 5
2. Indonesia terdiri atas 34 provinsi
3. 2 adalah bilangan prima dan genap
4. 3 adalah bilangan genap

dan tidak akan dibicarakan kalimat-kalimat seperti:
5. Berapa umurmu? (Kalimat tanya)
6. Bersihkan tempat tidurmu! (Kalimat perintah)
7. Sejuk benar udara di sini! (Kalimat ungkapan perasaan)
8. Mudah-mudahan terkabul cita-citamu (Kalimat pengharapan)

Dari contoh-contoh di atas, terlihat bahwa kalimat 1, 2, dan 3, bernilai benar, sedangkan kalimat 4 bernilai salah. Kalimat 5, 6, 7, dan 8, tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Nilai benar artinya ada kesesuaian antara yang dinyatakan oleh kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya (realitas yang dinyatakannya), yaitu benar dalam arti matematis.

Defenisi:
Suatu pernyataan (statement) adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Contoh :
Kalimat 1, 2, 3, dan 4

Benar atau salahnya sebuah pernyataan disebut nilai kebenaran pernyataan itu. Nilai kebenaran dilambangkan dengan $\tau$ (Tau). Berarti “4 kurang dari 5” nilai kebenarannya Benar atau $\tau$ = Benar

Suatu pernyataan umumnya disimbolkan dengan huruf abjad kecil, misalnya p, q, r, … dan seterusnya, sedangkan nilai benar disimbolkan dengan “B” atau “1 (satu)” dan nilai salah disimbolkan dengan “S” atau “0 (nol)”.

Contoh :
p : Ada 12 bulan dalam setahun, $\tau$(p) = B
q : 4 + 5 = 8, $\tau$(q) = S

Seperti telah kita ketahui, menurut jenisnya suatu kalimat secara sederhana dapat dibagi seperti di bawah ini:

Bagan Kalimat

Bukan pernyataan (bukan kalimat deklaratif) contohnya: Kalimat 5, 6, 7, dan 8.

Sedangkan kalimat tidak berarti contohnya:
9. Batu makan rumput
10. 3 melempari 5

Kesimpulan:
Setiap kalimat berarti, jelas dan memiliki nilai kebenaran (benar atau salah) disebut pernyataan.

VARIABEL DAN KONSTANTA


Defenisi:
Variabel adalah simbol yang menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan.

Defenisi:
Konstanta adalah simbol yang menunjukkan anggota tertentu (yang sudah spesifik) dalam spesifik pembicaraan.

Perhatikan kalimat berikut ini:
a) Manusia makan nasi
b) . . . memakai sepatu
c) 2 + x = 6
d) 8 + . . . = 12
e) p < 6

Ada yang mengatakan bahwa kalimat a benar, tetapi ada juga yang mengatakan bahwa kalimat itu salah, tergantung pada kesesuaian kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya. Kalimat seperti ini disebut pernyataan faktual.

Ada juga yang mengatakan bahwa kelima-kalimat di atas belum dapat dikatakan mempunyai nilai. Seperti telah kita ketahui, nilai benar maupun nilai salah sebuah kalimat (baik kalimat sehari-hari maupun kalimat matematika), ditentukan oleh kebenaran atau ketidakbenaran realitas yang dinyatakan.

Jika kata “manusia” dalam kalimat a diganti “Sanohugo”, maka kalimat menjadi “Sanohugo makan nasi”. Kalimat ini jelas bernilai salah saja atau bernilai benar saja; tergantung realitasnya. Inilah kalimat yang disebut dengan pernyataan faktual.

Demikian pula jika “. . .” pada kalimat b diganti “Jhon”, maka kalimat ini menjadi “Jhon memakai sepatu”. Kalimat (pernyataan) itupun menjadi jelas nilainya, yaitu salah saja atau benar saja, tergantung realitasnya.

Jika “x” pada kalimat c diganti “4” maka kalimat itu menjadi “2 + 4 = 6”. Kalimat (pernyataan) ini jelas bernilai benar saja.

Jika “. . .” pada kalimat d diganti “6”, maka kalimat itu menjadi “8 + 6 = 12”. Jelas pernyataan itu bernilai salah saja.

Jika “p” pada kalimat e diganti “0, 1, 2, 3, 4, 5”, maka pernyataan “p < 6” menjadi bernilai benar, tetapi kalimat (pernyataan) itu menjadi bernilai salah apabila “p” pada e diganti "6, 7, 8, . . ." dalam semesta pembicaraan himpunan bilangan cacah.

“Manusia”, “. . .”, “x”, “p” pada kalimat-kalimat di atas disebut Variabel. Sedangkan pengganti-pengganti seperti “Sanohugo”, “Jhon”, “4”, “6”, dan “0, 1, 2, 3, 4, 5” dan "6, 7, 8, . . ." disebut Konstanta.

KALIMAT TERBUKA


Defenisi:
Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta dari semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau bernilai salah saja (pernyataan).

Berdasarkan contoh kalimat pada variabel dan konstanta, maka kalimat-kalimat seperti a sampai dengan e di atas disebut kalimat terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai, maka kalimat yang terjadi dapat disebut kalimat tertutup.

Kalimat terbuka seperti c, d, dan e, disebut kalimat matematika (ada yang menyebut kalimat bilangan). Kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan menggunakan tanda “=” seperti kalimat c dan d disebut persamaan. Kalimat e yang menggunakan tanda “<” disebut pertidaksamaan (sebutan ini juga berlaku untuk kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan menggunakan tanda “>” atau “$\neq $”).

Jika variabel pada kalimat matematika itu sudah diganti dengan konstanta dan kalimat matematika itu menggunakan tanda “=” maka kalimat yang terjadi disebut kesamaan. Sedangkan kalimat matematika yang tidak mengandung variabel dan menggunakan tanda “<”, “>” atau “$\neq $” disebut ketidaksamaan.

Di atas telah diberikan definisi-definisi dari pernyataan, variabel, konstanta, dan kalimat terbuka. Pernyataan yang menjelaskan istilah-istilah di atas disebut kalimat definisi. Pada kalimat definisi tidak boleh terdapat kata-kata yang belum jelas artinya, apalagi kata yang sedang didefinisikan.

Beberapa contoh kalimat terbuka yaitu:
a) x adalah bilangan bulat
b) x + 2 > 10
c) x² - 3x + 5 = 0
d) y = 2x + 1

PROPOSISI


Defenisi:
Proposisi adalah suatu pernyataan yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak dapat sekaligus keduanya.

Atau bisa diartikan:
Pernyataan yang diungkapkan oleh suatu kalimat berarti serta mempunyai nilai benar atau nilai salah tetapi tidak boleh kedua-duanya disebut proposisi. Banyak pemikir modern berpikir bahwa “pernyataan” dan “proposisi” adalah sinonim, atau paling tidak seharusnya sama.

Logika yang menangani atau memproses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi-proposisi disebut logika proposisional.

Contoh:
a) Bali memiliki sebutan pulau dewata ($\tau$ = Benar)
b) 2 + 2 = 4 ($\tau$ = Benar)
c) 4 adalah bilangan prima ($\tau$ = Salah)
d) 5 x 12 = 90 ($\tau$ = Salah)

Proposisi-proposisi yang nilainya selalu benar disebut Tautologi. Sementara proposisi-proposisi yang nilainya selalu salah disebut Kontradiksi.

Untuk mengenali suatu proposisi, dapat dibantu dengan jawaban jika ada pertanyaan “Apakah nilainya benar atau salah?”. Pernyataan yang tidak tergolong proposisi adalah, jika:
  • kalimat perintah dan kalimat pertanyaan
  • pernyataan yang tidak memiliki nilai benar atau salah
  • kalimat terbuka

Contoh:
a) Komang, bersihkan lantai ini! (kalimat perintah)
b) Anda mahasiswa jurusan apa? (kalimat tanya)
c) x + 5 = 7 (kalimat terbuka)
d) Angka 13 adalah angka keramat (kalimat yang tidak memiliki nilai benar atau salah)

Selain pernyataan yang menimbulkan banyak pendapat, serta kalimat perintah dan kalimat tanya, suatu proposisi tidak boleh digantikan dengan proposisi lain yang artinya sama.

Lihat contoh berikut ini:
a) Ayu pintar
b) Ayu tidak bodoh

Pada pernyataan pertama dengan pernyataan kedua artinya sama, tetapi pemberian variabel proposisinya berbeda. Proposisi tidak diijinkan menafsir arti kalimat.

Contoh:
a) A = Luna rajin, maka “Tidak A” = Luna tidak rajin
b) B = Luna malas, maka “Tidak B” = Luna tidak malas

Jadi tidak diperbolehkan mengganti “Tidak A” dengan B, walaupun arti kalimatnya sama.

Proposisi-proposisi dapat digabung dan dimanipulasi sedemikian rupa dengan berbagai cara sehingga membentuk proposisi yang rumit.

Penggabungan tersebut dilakukan dengan perangkai-perangkai sehingga disebut PROPOSISI MAJEMUK (compound propositions).

Proposisi majemuk sebenarnya terdiri dari banyak proposisi atomik. PROPOSISI ATOMIK adalah proposisi yang tak dapat dipecah-pecah menjadi beberapa proposisi lagi.

Contoh: Tuti sedang memasak dan Leni sedang menyapu halaman

Kalimat di atas merupakan proposisi majemuk yang terdiri dari 2 proposisi atomik yang dirangkai dengan perangkai “dan”. Jika kalimat tersebut dipisah, akan menjadi dua kalimat berikut:
Tuti sedang memasak
Leni sedang menyapu halaman

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, . . .

Contoh:
p : 17 adalah bilangan ganjil
q : Soekarno adalah Presiden Pertama RI
r : 6 + 9 = 15

Untuk lebih jelasnya memahami tentang Pernyataan dan Proposisi, Silahkan dijawab pertanyaan berikut:
“52 < 84”

Apakah ini sebuah Pernyataan? Ya
Apakah isi sebuah Proposisi? Ya
Apakah Nilai Kebenaran dari Proposisi ini? Benar

“Burung Terbang Menggunakan Sayap”

Apakah ini sebuah Pernyataan? Ya
Apakah isi sebuah Proposisi? Ya
Apakah Nilai Kebenaran dari Proposisi ini? Benar

“y $\neq $ 7”

Apakah ini sebuah Pernyataan? Tidak
Apakah isi sebuah Proposisi? Tidak
Ini adalah kalimat terbuka. Kalimat ini bisa dijadikan pernyataan apabila nilai y telah ditentukan.

KATA HUBUNG KALIMAT


Pernyataan majemuk terdiri dari satu atau lebih pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung kalimat (connective) tertentu. Dalam bahasa Indonesia kita sering menggunakan kata-kata “tidak”, “dan”, “atau”, “jika. . . maka. ..”, “jika dan hanya jika”. Marilah sekarang kita memperhatikan penggunaan kata-kata itu dengan lebih cermat dalam matematika (dan membandingkannya dengan penggunaan dalam percakapan sehari-hari). Kita pelajari sifat-sifatnya untuk memperjelas cara berpikir kita dan terutama karena pentingnya kata-kata itu untuk melakukan pembuktian. Dalam pelajaran logika (matematika), kata-kata itu disebut kata hubung kalimat atau perangkai. Ada lima macam kata hubung kalimat yaitu negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional, dan bikondisional.

Negasi tidak menghubungkan dua buah pernyataan sederhana, tetapi tetap dianggap sebagai kata hubung kalimat, yaitu menegasikan pernyataan sederhana (ada yang menganggap bahwa negasi suatu pernyataan sederhana bukan pernyataan majemuk).

NEGASI (INGKARAN ATAU PENYANGKALAN)


Perhatikan pernyataan : “Sekarang hari hujan” bagaimana ingkaran pernyataan itu? Anda dapat dengan mudah menjawab : "Sekarang hari tidak hujan”. Jika pernyataan semula bernilai benar maka ingkaran pernyataan itu bernilai salah.

Sesungguhnya, penambahan "tidak" ke dalam kalimat semula tidaklah cukup. Coba anda pikirkan bagaimana negasi dari kalimat : “Beberapa pemuda adalah atlet”.

Defenisi:
Ingkaran suatu pernyataan adalah pernyataan yang bernilai benar, jika pernyataan semula salah, dan sebaliknya. Ingkaran pernyataan p ditulis ~p

Contoh:
  1. Jika p : Jakarta ibu kota RI (B)
    maka ~p : Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota RI (S)
    atau ~p : Jakarta bukan ibu kota RI (S)

  2. Jika q : Zainal memakai kaca mata
    maka ~q : Tidak benar bahwa Zainal memakai kaca mata
    atau ~q : Zainal tidak memakai kaca mata
    ~q akan bernilai salah jika Zainal benar-benar memakai kaca mata.

  3. Jika r : 6 + 1 < 8 (B)
    maka ~r : Tidak benar bahwa 6 + 1 < 8 (S)
    atau ~r : 6 + 1 = 8 (S)
    atau ~r : 6 + 1 > 8 (S)

  4. Jika s : Ada anak berkacamata di kelasku (B) (dimisalkan bahwa pernyataan ini benar)
    maka ~s : Tidak benar bahwa ada anak berkacamata di kelasku (S)

Kesimpulan:
Membentuk ingkaran suatu pernyataan dapat dengan menambahkan kata-kata tidak benar bahwa di depan pernyataan aslinya, atau jika mungkin dengan menambah bukan atau tidak di dalam pernyataan itu, tetapi untuk pernyataan-pernyataan tertentu tidak demikian halnya.

Berdasarkan defenisi di atas, dapat dibuat tabel kebenaran untuk ingkaran seperti berikut:

p ~p
B S
S B

KONJUNGSI (DAN)


Dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan kata hubung “dan” dengan lambang p ∧ q, dibaca p dan q.

Defenisi:
Suatu konjungsi dari dua pernyataan bernilai benar hanya dalam keadaan kedua komponennya bernilai benar.

Berdasarkan definisi di atas, dapat disusun tabel kebenaran untuk konjungsi seperti berikut:

p q p ∧ q
B B B
B S S
S B S
S S S

DISJUNGSI (ATAU)


Sekarang perhatikan pernyataan: “Ismah seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlet berbakat”. Membaca pernyataan itu akan timbul tafsiran:
  • Ismah seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlet yang berbakat, tetapi tidak kedua-duanya, atau
  • Ismah seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlet yang berbakat, mungkin kedua-duanya.

Tafsiran pertama adalah contoh disjungsi eksklusif dan tafsiran kedua adalah contoh disjungsi inklusif.

Jika pernyataan semula benar, maka keduanya dari tafsiran 1 atau 2 adalah benar (untuk disjungsi inklusif), mungkin benar salah satu (untuk disjungsi eksklusif), dan sebaliknya. Lebih dari itu, jika pernyataan semula salah, maka kedua tafsiran itu tentu salah (untuk disjungsi inklusif dan eksklusif).

Berdasarkan pengertian di atas, dua buah pernyataan yang dihubungkan dengan “atau” merupakan disjungsi dari kedua pernyataan semula.

Dibedakan antara:
  • disjungsi inklusif yang diberi simbol “∨” dan
  • disjungsi eksklusif yang diberi simbol “$\underline{∨}$”

Disjungsi inklusif dari dua pernyataan p dan q ditulis p ∨ q, dan disjungsi eksklusif dari dua pernyataan p dan q ditulis p $\underline{∨}$ q, dan dibaca: p atau q. pernyataan p ∨ q juga disebut sebagai pernyataan disjungtif.

Contoh :
  1. Jika p : Aku tinggal di Indonesia
    q : Aku belajar Bahasa Inggris sejak SMP
    maka p ∨ q : Aku tinggal di Indonesia atau belajar Bahasa Inggris sejak SMP
    Pernyataan p ∨ q bernilai benar jika Aku benar-benar tinggal di Indonesia atau benar-benar belajar Bahasa Inggris sejak SMP.
  2. Jika r : Aku lahir di Gunungsitoli, dan
    s : Aku lahir di Jakarta,
    maka r ∨ s : Aku lahir di Gunungsitoli atau di Jakarta.
    Pernyataan r ∨ s bernilai benar jika Aku benar-benar lahir di salah satu kota Gunungsitoli atau Jakarta, dan tidak di kedua tempat itu. Mustahil aku lahir di dua kota dalam waktu yang sama.

Defenisi:
Suatu disjungsi inklusif bernilai benar apabila paling sedikit satu komponennya bernilai benar

Berdasarkan definisi di atas, dapat disusun tabel kebenaran untuk disjungsi inklusif seperti berikut:

p q p ∨ q
B B B
B S B
S B B
S S S

Defenisi:
Suatu disjungsi eksklusif bernilai benar apabila hanya salah satu komponennya bernilai benar

Berdasarkan definisi di atas, dapat disusun tabel kebenaran untuk disjungsi eksklusif seperti berikut:

p q p $\underline{∨}$ q
B B S
B S B
S B B
S S S

Sifat-sifat pernyataan yang ekivalen:
  1. ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

    p q ~p ~q p ∧ q ~(p ∧ q) ~p ∨ ~q
    B B S S B S S
    B S S B S B B
    S B B S S B B
    S S B B S B B

  2. ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

    p q ~p ~q p ∨ q ~(p ∨ q) ~p ∧ ~q
    B B S S B S S
    B S S B B S S
    S B B S B S S
    S S B B S B B

  3. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

    p q r (q ∧ r) p ∨ (q ∧ r) (p ∨ q) (p ∨ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
    B B B B B B B B
    B B S S B B B B
    B S B S B B B B
    B S S S B B B B
    S B B B B B B B
    S B S S S B S S
    S S B S S S B S
    S S S S S S S S

  4. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

    p q r (q ∨ r) p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) (p ∧ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
    B B B B B B B B
    B B S B B B S B
    B S B B B S B B
    B S S S S S S S
    S B B B S S S S
    S B S B S S S S
    S S B B S S S S
    S S S S S S S S

KONDISIONAL (IMPLIKASI ATAU PERNYATAAN BERSYARAT)


Dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk dimana p merupakan sebab/alasan/hipotesa (anteseden) dan q merupakan akibat (kesimpulan) atau konklusi (konsekuen). Implikasi dilambangkan dengan p ⇒ q. Pernyataan p ⇒ q dapat dibaca:
  • Jika p maka q
  • p berimplikasi q
  • p hanya jika q
  • q jika p

Bila kita menganggap pernyataan q sebagai suatu peristiwa, maka kita melihat bahwa “Jika p maka q” dapat diartikan sebagai “Bilamana p terjadi maka q juga terjadi” atau dapat juga, diartikan sebagai “Tidak mungkin peristiwa p terjadi, tetapi peristiwa q tidak terjadi”.

Defenisi:
Implikasi p ⇒ q bernilai salah jika anteseden benar dan konsekuen salah

Berdasarkan definisi diatas dapat disusun tabel kebenaran untuk implikasi seperti berikut:

p q p ⇒ q
B B B
B S S
S B B
S S B

Contoh:
  1. Jika p : burung mempunyai sayap (B), dan
    q : 2 + 3 = 5 (B)
    maka p ⇒ q : jika burung mempunyai sayap maka 2 + 3 = 5 (B)
  2. Jika r : x bilangan cacah (B), dan
    s : x bilangan bulat positif (S)
    maka p ⇒ q : jika x bilangan cacah maka x bilangan bulat positif (S)

Turunan dari pernyataan-pernyataan implikasi yang mempunyai nilai kebenaran dari bentuk implikasi yakni:

KONVERS

Konvers adalah pernyataan majemuk dari pembalikkan tempat pada implikasi dimana pernyataan pertama (implikasi) menjadi pernyataan kedua (konvers) dan sebaliknya. Konvers ditulis q ⇒ p. Tabel kebenarannya adalah:

p q p ⇒ q q ⇒ p
B B B B
B S S B
S B B S
S S B B

INVERS

Invers adalah suatu pernyataan tunggal yang digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk yang merupakan ingkaran masing-masing pernyataan. Ingkaran tersebut adalah ingkaran pada implikai. Jadi invers dinyatakan dengan lambang ~p ⇒ ~q dibaca “jika negasi p maka negasi q”. Tabel kebenarannya adalah:

p q ~p ~q ~p ⇒ ~q
B B S S B
B S S B B
S B B S S
S S B B B

KONTRAPOSISI

Kontraposisi adalah suatu pernyataan tunggal yang digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk yang merupakan pembalikkan tempat dari ingkaran implikasi. Jadi kontraposisi dinyatakan dengan lambang ~ q ⇒ ~ p dibaca “jika negasi q maka negasi p”. Tabel kebenarannya adalah:

p q ~p ~q ~q ⇒ ~p
B B S S B
B S S B S
S B B S B
S S B B B

Defenisi:
Konvers dari implikasi p ⇒ q adalah q ⇒ p
Invers dari implikasi p ⇒ q adalah ~ p ⇒ ~ q
Kontraposisi dari implikasi p ⇒ q adalah ~ q ⇒ ~ p

Hubungan antara implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dapat ditunjukkan dengan skema berikut ini:

Konvers, Invers, Kontraposisi

BIKONDISIONAL (BIIMPLIKASI ATAU PERNYATAAN BERSYARAT GANDA)


Dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika” atau “bila dan hanya bila” dengan lambang p ⇔ q dibaca p jika dan hanya jika q. Pernyataan “p jika dan hanya jika q” berarti “jika p maka q dan jika q maka p”, sehingga juga berarti “p adalah syarat perlu dan cukup bagi q” dan sebaliknya. Atau dengan kata lain pernyataan majemuk biimplikasi yakni pernyataan prasyarat yang umumnya bersyarat mutlak.

Defenisi:
Pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponen-komponennya bernilai sama.

Contoh:
  1. Jika p : 2 bilangan genap (B)
    q : 3 bilangan ganjil (B)
    maka p ⇔ q : 2 bilangan genap jika dan hanya jika 3 bilangan ganjil (B)
  2. Jika r : 2 + 2 $\neq $ 5 (B)
    s : 4 + 4 < 8 (S)
    maka r ⇔ s : 2 + 2 $\neq $ 5 jika dan hanya jika 4 + 4 < 8 (S)
  3. Jika a : Surabaya ada di jawa barat (S)
    b : 23 = 6 (S)
    maka a ⇔ b : Surabaya ada di jawa barat jika dan hanya jika 23 = 6 (B)

Berdasarkan definisi diatas dapat disusun tabel kebenaran untuk biimplikasi seperti berikut.

p q p ⇔ q
B B B
B S S
S B S
S S B

Sifat-sifat pernyataan yang ekivalen:
  1. p ⇒ q ≡ ~p ∨ q

    p q ~p p ⇒ q ~p ∨ q
    B B S B B
    B S S S S
    S B B B B
    S S B B B

  2. p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p

    p q ~p ~q p ⇒ q ~q ⇒ ~p
    B B S S B B
    B S S B S S
    S B B S B B
    S S B B B B

  3. ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q

    p q ~q p ⇒ q ~(p ⇒ q) p ∧ ~q
    B B S B S S
    B S B S B B
    S B S B S S
    S S B B S S

  4. (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

    p q p ⇒ q q ⇒ p p ⇔ q (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
    B B B B B B
    B S S B S S
    S B B S S S
    S S B B B B

  5. (p ⇔ q) ≡ (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)

    p q ~p ~q ~p ∨ q ~q ∨ p p ⇔ q (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)
    B B S S B B B B
    B S S B S B S S
    S B B S B S S S
    S S B B B B B B

  6. ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

    p q ~p ~q p ∧ ~q q ∧ ~p p ⇔ q ~(p ⇔ q) (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
    B B S S S S B S S
    B S S B B S S B B
    S B B S S B S B B
    S S B B S S B S S


Silahkan buka materi selanjutnya Penarikan Kesimpulan Logika Matematika

Demikianlah materi logika matematika, semoga bermanfaat. Salam Ono Niha - Ya'ahowu.

Post a Comment for "Logika Matematika: Negasi, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi "