Kuantor dan Penarikan Kesimpulan Logika Matematika

Penarikan Kesimpulan Logika Matematika - Pada kesempatan ini saya akan memberikan penjelasan materi matematika mengenai kuantor dan penarikan kesimpulan (modus ponen, modus tolens, transitif dan silogisme). Bila teman-teman ingin mengetahui tentang kata hubung kalimat logika matematika seperti negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional (implikasi), dan bikondisional (biimplikasi) silahkan baca artikel saya sebelumnya mengenai Logika Matematika.

KUANTOR

Fungsi Pernyataan

Defenisi:

Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit)

Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang ditulis sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(x) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap x (x adalah anggota dari semesta pembicaraan). Ingat bahwa p(x) suatu pernyataan.

Contoh:

• Jika p(x) = 1 + x > 5
  p(x) akan merupakan fungsi pernyataan pada A = himpunan bilangan asli. Karena demikian maka p(x) bernilai benar untuk x = 5, 6, 7, . . .
• Jika q(x) = x + 3 < 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, tidak ada x yang menyebabkan q(x) bernilai benar.

Kuantor Umum (Kuantor Universal)

Simbol $\forall$ yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut kuantor umum

Jika p(x) adalah fungsi proposisi pada suatu himpunan A (himpunan A adalah semesta pembicaraannya) maka:

$\forall$x $\in$ A, p(x) dibaca untuk semua x elemen A berlakulah p(x)

$\forall$x, p(x) atau $\forall$x p(x) dibaca untuk semua x berlakulah p(x)

Contoh:

• p(x) = x tidak kekal
  p(manusia) = manusia tidak kekal
  maka $\forall$x, p(x) = $\forall$x $\in$ {manusia}, p(x) = semua manusia tidak kekal (Benar)
  Perhatikan bahwa p(x) merupakan kalimat terbuka (tidak mempunyai nilai kebenaran). Tetapi $\forall$x p(x) merupakan pernyataan (mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak kedua-duanya).
• p(x) = Semua mahasiswa IKIP Gunungsitoli pandai (Benar)
  berarti: semua (tanpa terkecuali) mahasiswa IKIP Gunungsitoli pandai

Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)

Simbol $\exists$ dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu” disebut kuantor khusus

Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunan tertentu yaitu A (himpunan A adalah semesta pembicaraan) maka:

$\exists$x $\in$ A, p(x) dibaca ada x elemen A, sedemikian hingga p(x)

$\exists$x! p(x) atau $\exists$x, p(x) atau $\exists$x p(x) dibaca untuk beberapa x, p(x)

Simbol $\exists$! untuk menyatakan “Ada hanya satu”.

Contoh:

• p(x) = x adalah wanita
  p(perwira ABRI) = perwira ABRI adalah wanita
  $\exists$x p(x) = $\exists$x! p(x) = $\exists$x $\in$ {perwira ABRI}, p(x) = ada perwira ABRI adalah wanita (Benar)
• Misalkan:
  A= Himpunan semua mahasiswa IKIP Gunungsitoli
  B= Beberapa mahasiswa IKIP Gunungsitoli pandai
  berarti: ada mahasiswa IKIP Gunungsitoli yang pandai atau sekurang-kurangya ada seorang Mahasiswa IKIP Gunungsitoli yang pandai.

Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor

Negasi dari:

Semua manusia tidak kekal = Tidak benar bahwa semua manusia tidak kekal

Atau:

Semua manusia tidak kekal = Beberapa manusia kekal

Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal, maka “semua manusia adalah tidak kekal” atau $\forall$x, p(x) bernilai benar, dan “beberapa manusia kekal” atau $\exists$x, ~p(x) bernilai salah.

Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan simbol:

~ [$\forall$x p(x)] ≡ $\exists$x ~p(x)

Jadi negasi dari suatu pernyataan yang mengandung kuantor universal adalah ekivalen dengan pernyataan yang mengandung kuantor eksistensial (fungsi pernyataan yang dinegasikan) dan sebaliknya :

~[$\exists$x p(x)] ≡ $\forall$x ~p(x)

Contoh:

p : Semua mahasiswa rajin belajar

~p : Ada mahasiswa yang tidak rajin belajar

q : Ada mahasiswa yang rumahnya di Lahewa

~q : Semua mahasiswa rumahnya bukan di Lahewa

r : Jika semua mahasiswa rajin belajar maka lulus ujian

~r : Semua mahasiswa rajin belajar dan tidak lulus ujian

~r : Semua mahasiswa rajin belajar tetapi tidak lulus ujian

PENARIKAN KESIMPULAN (VALIDITAS PEMBUKTIAN)

Premis dan Argumen

Premis adalah pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan.

Suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.

Sedangkan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi.

Secara sederhana dapat dikatakan bahwa suatu argumen dikatakan sah/valid jika premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar.

Penarikan Kesimpulan atau Validitas Pembuktian

Dalam penarikan kesimpulan biasanya menggunakan prinsip logika dimana pernyataan disebut premis serta penarikan kesimpulan disebut argumentasi. Prinsip logika bila premis-premisnya benar maka konklusinya sah atau valid. Sebaliknya jika premis-premisnya salah maka konklusinya tidak sah atau tidak valid.

Berikut adalah Validitas pembuktian yang sah:

Modus Ponen

Dalam bentuk implikasi pernyataan penarikan kesimpulan dengan modus ponen ditulis:

{(p ⇒ q) ∧ p} ⇒ q

dibaca “implikasi dikonjungsikan dengan p berimplikasi (menghasilkan) kesimpulan atau konklusi q. Uraian modus ponen dapat ditulis:

Uraian di atas dapat juga dibaca: Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p benar, disimpulkan q benar. (Notasi: Ada yang menggunakan tanda $\therefore$ untuk menyatakan konklusi, seperti p ⇒ q, p$\therefore$q)

Tabel kebenarannya adalah:

p	q	p ⇒ q	(p ⇒ q) ∧ p	{(p ⇒ q) ∧ p} ⇒ q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Ingat!!!

Proposisi-proposisi yang nilainya selalu benar disebut Tautologi

Proposisi-proposisi yang nilainya selalu salah disebut Kontradiksi

Contoh:

1. Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar)
   Premis 2 : Saya belajar (benar)
   $\therefore$ : Saya lulus ujian (benar)
   
   
   Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menunjukkan validitas dari bentuk argumen modus ponen.


2. Premis 1 : Jika x = 7, maka x² = 49
   Premis 2 : x = 7
   $\therefore$ : x² = 49

Modus Tolens

Penarikan kesimpulan dengan modus tolens dilakukan dengan simbol matematika:

{(p ⇒ q) ∧ ~q} ⇒ ~p

dibaca “implikasi dikonjungsikan terhadap negasi q berimplikasi (menghasilkan) kesimpulan atau konklusi negasi p. Uraian modus tolens dapat ditulis:

Tabel kebenarannya adalah:

p	q	~p	~q	p ⇒ q	(p ⇒ q) ∧ ~q	{(p ⇒ q) ∧ ~q} ⇒ ~p
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B

Jika premis 2 diubah menjadi ~p maka konklusinya tidak valid ~q. Berikut tabel kebenarannya:

p	q	~p	~q	p ⇒ q	(p ⇒ q) ∧ ~p	{(p ⇒ q) ∧ ~p} ⇒ ~q
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	B	S
S	S	B	B	B	B	B

Contoh:

1. Premis 1 : Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan (benar)
   Premis 2 : Saya tidak memakai jas hujan (benar)
   $\therefore$ : Hari tidak hujan (benar)
   
   
   Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi, sehingga jika q tidak terjadi maka p tidak terjadi.


2. Premis 1 : Jika ada gula maka ada semut
   Premis 2 : Tidak ada semut
   $\therefore$ : Tidak ada gula

Transitif

Penarikan kesimpulan dengan transitif dilakukan berdasarkan implikasi-implikasi berturut-turut. Secara simbolik logika penarikan kesimpulan dengan transitif dituliskan dengan lambang:

{(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)} ⇒ (p ⇒ r)

Uraian transitif dapat ditulis:

Tabel kebenarannya adalah:

p	q	r	p ⇒ q	q ⇒ r	p ⇒ r	(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)	{(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)} ⇒ (p ⇒ r)
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S	B
B	S	B	S	B	B	S	B
B	S	S	S	B	S	S	B
S	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B
S	S	S	B	B	B	B	B

Contoh:

1. Premis 1 : Jika kamu benar maka saya bersalah (benar)
   Premis 2 : Jika saya bersalah maka saya minta maaf (benar)
   $\therefore$ : Jika kamu benar maka saya minta maaf (benar)


2. Premis 1 : Jika hari ini hujan maka jalanan basah (benar)
   Premis 2 : Jika jalanan basah maka saya tidak berangkat kuliah(benar)
   $\therefore$ : Jika hari ini hujan maka saya tidak berangkat kuliah (benar)

Silogisme

Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid.

Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka silogisme disjungtif di atas adalah valid.

Tabel kebenarannya adalah:

p	q	~p	~q	p ∨ q	(p ∨ q) ∧ ~p	(p ∨ q) ∧ ~q	{(p ∨ q) ∧ ~p} ⇒ q	{(p ∨ q) ∧ ~q} ⇒ p
B	B	S	S	B	S	S	B	B
B	S	S	B	B	S	B	B	B
S	B	B	S	B	B	S	B	B
S	S	B	B	S	S	S	B	B

Contoh:

1. Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (B)
   Premis 2 : Pengalaman ini tidak berbahaya (B)
   $\therefore$ : Pengalaman ini membosankan (B)


2. Premis 1 : Air ini panas atau dingin (B)
   Premis 2 : Air ini panas (B)
   $\therefore$ : Air ini tidak dingin (B)


3. Premis 1 : Obyeknya berwarna merah atau sepatu
   Premis 2 : Obyek ini berwarna merah
   $\therefore$ : Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)

Konjungsi

Artinya: p benar, q benar. Maka p ∧ q benar.

Dilema Konstruktif dan Destruktif

Dua bentuk argumen valid yang lain adalah dilema konstruktif dan dilema destruktif.

Dilema Konstruktif

Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua argumen modus ponen (periksa argumen modus ponen).

Contoh:

Premis 1 : Jika hari hujan, aku akan tinggal di rumah; tetapi jika pacar datang, aku pergi berbelanja

Premis 2 : Hari ini hujan atau pacar datang

$\therefore$ : Aku akan tinggal di rumah atau pergi berbelanja

Dilema Destruktif

Dilema destruktif ini merupakan kombinasi dari dua argumen modus tolens (perhatikan argumen modus tolens).

Contoh:

Premis 1 : Jika aku memberikan pengakuan, aku akan digantung; dan jika aku tutup mulut, aku akan ditembak mati

Premis 2 : Aku tidak akan digantung atau ditembak mati

$\therefore$ : Aku tidak akan memberikan pengakuan, atau tidak akan tutup mulut

CONTOH PENARIKAN KESIMPULAN LOGIKA MATEMATIKA

Agar lebih mahir berikut saya sajikan contoh-contoh penarikan kesimpulan logika matematika:

1. Premis 1 : Jika semua pejabat tidak korupsi maka rakyat hidup sejahtera
   Premis 2 : Rakyat hidup sengsara
   
   
   Penjelasan:
   p = semua pejabat tidak korupsi
   q = rakyat hidup sejahtera
   ~q = rakyat hidup sengsara
   
   
   $\therefore$ : Semua pejabat korupsi (Modus Tolens)


2. Premis 1 : Tidak ada politikus yang suka berbohong
   Premis 2 : Orang yang tidak suka berbohong adalah orang bijak
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   Tidak ada politikus yang suka berbohong ≡ Semua politikus tidak suka berbohong
   p = semua politikus
   q = tidak suka berbohong
   
   
   Untuk premis 2:
   q = tidak suka berbohong
   r = adalah orang bijak
   
   
   $\therefore$ : Semua politikus adalah orang bijak (Transitif)


3. Premis 1 : Setiap rumah memiliki lampu
   Premis 2 : Setiap rumah memiliki televisi
   
   
   Penjelasan:
   p = setiap rumah memiliki lampu
   q = setiap rumah memiliki televisi
   
   
   $\therefore$ : Setiap rumah memiliki lampu dan televisi (Konjungsi)


4. Premis 1 : Berbelanja tanpa perencanaan mengakibatkan pemborosan
   Premis 2 : Resti selalu berbelanja tanpa perencanaan
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   p = berbelanja tanpa perencanaan
   q = mengakibatkan pemborosan
   
   
   Untuk premis 2:
   p = Resti berbelanja tanpa perencanaan
   
   
   $\therefore$ : Resti selalu melakukan pemborosan (Modus Ponen)


5. Premis 1 : Jika Ayah di kantor dan Andri di sekolah, maka Ibu di rumah
   Premis 2 : Ibu tidak dirumah
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   p = Ayah di kantor
   q = Andri di sekolah
   r = Ibu di rumah
   
   
   Dari premis 1 di atas, simbol matematikanya adalah {(p ∧ q) ⇒ r}
   
   
   Untuk premis 2:
   ~r = Ibu tidak di rumah
   
   
   Dari premis 1 dan 2 di atas, simbol matematikanya adalah {(p ∧ q) ⇒ r} ⇒ ~r
   
   
   Kesimpulan:
   ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
   
   
   $\therefore$ : Ayah tidak di kantor atau Andri tidak di sekolah (Modus Tolens)


6. Premis 1 : Jika Fadli Kuliah atau menikah maka Ayah menghadiahkannya uang
   Premis 2 : Ayah tidak menghadiahkannya uang
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   p = Fadli Kuliah
   q = Fadli menikah
   r = Ayah menghadiahkannya uang
   
   
   Dari premis 1 di atas, simbol matematikanya adalah {(p ∨ q) ⇒ r}
   
   
   Untuk premis 2:
   ~r = Ayah tidak menghadiahkannya uang
   
   
   Dari premis 1 dan 2 di atas, simbol matematikanya adalah {(p ∨ q) ⇒ r} ⇒ ~r
   
   
   Kesimpulan:
   ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
   
   
   $\therefore$ : Fadli tidak kuliah dan tidak menikah (Modus Tolens)


7. Premis 1 : Jika saya ganteng maka pacar saya banyak
   Premis 2 : Jika pacar saya banyak maka saya adalah playboy
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   p = jika saya ganteng
   q = pacar saya banyak
   
   
   Untuk premis 2:
   q = pacar saya banyak
   r = saya adalah playboy
   
   
   $\therefore$ : Jika saya ganteng maka saya adalah playboy (Transitif)


8. Premis 1 : Jika pacar saya cantik maka saya mencintainya
   Premis 2 : Jika saya mencintai pacar saya maka saya menikahinya
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   p = jika pacar saya cantik
   q = saya mencintainya
   
   
   Untuk premis 2:
   q = saya mencintai pacar saya
   r = saya menikahinya
   
   
   $\therefore$ : Jika pacar saya cantik maka saya menikahinya (Transitif)


9. Premis 1 : Jika istri saya cantik atau menawan maka anak saya ganteng
   Premis 2 : Anak saya tidak ganteng
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   p = istri saya cantik
   q = istri saya menawan
   r = anak saya ganteng
   
   
   Dari premis 1 di atas, simbol matematikanya adalah {(p ∨ q) ⇒ r}
   
   
   Untuk premis 2:
   ~r = Anak saya tidak ganteng
   
   
   Dari premis 1 dan 2 di atas, simbol matematikanya adalah {(p ∨ q) ⇒ r} ⇒ ~r
   
   
   Kesimpulan:
   ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
   
   
   $\therefore$ : Istri saya tidak cantik dan tidak menawan (Modus Tolens)


10. Premis 1 : Jika beberapa gergaji atau semua kapak diasah, maka pohon besar itu dapat ditebang
    Premis 2 : Pohon besar itu tidak dapat ditebang
    
    
    Penjelasan:
    Untuk premis 1:
    p = beberapa gergaji
    q = semua kapak diasah
    r = pohon besar itu dapat ditebang
    
    
    Dari premis 1 di atas, simbol matematikanya adalah {(p ∨ q) ⇒ r}
    
    
    Untuk premis 2:
    ~r = Pohon besar itu tidak dapat ditebang
    
    
    Dari premis 1 dan 2 di atas, simbol matematikanya adalah [{(p ∨ q) ⇒ r} ∧ ~r] ⇒ ~(p ∨ q)
    
    
    Kesimpulan:
    ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
    
    
    $\therefore$ : Semua gergaji dan beberapa kapak tidak diasah (Modus Tolens)
    
    
    Bila masih kurang jelas tentang pengambilan kesimpulan ini, silahkan pelajari kembali mengenai Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor.

Demikianlah penjelasan materi matematika mengenai kuantor dan penarikan kesimpulan (modus ponen, modus tolens, transitif dan silogisme), semoga bermanfaat. Salam Ono Niha - Ya'ahowu.