Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Persamaan Eksponen (Bilangan Berpangkat), Fungsi dan Pertidaksamaannya

Artikel ini membahas salah satu materi mata kuliah program studi matematika yaitu mata kuliah Aljabar Elementer. Adapun judul materi yang dibahas yaitu Persamaan Eksponen (Pangkat), Fungsi Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen

Silahkan klik daftar isi berikut untuk mengakses judul materi dengan cepat.


Persamaan Eksponen


Persamaan Eksponen

Pengertian Persamaan Eksponen


Persamaan eksponen adalah persamaan yang bilangan pokok atau pangkatnya memuat variabel x.

Eksponen

Contoh

a. $9^{x-5}=\frac{1}{27}\sqrt{3}$
b. $\left ( x+5 \right )^{3x}=\left ( x+5 \right )^{x+1}$

Sifat-sifat Bilangan Berpangkat Rasional


Berikut adalah sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat, yaitu:

1. Jika a > 0 dan m, n bilangan rasional, maka:

a. $a^{m}\ \times\ a^{n}\ =\ a^{m+n}$
Perkalian dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok (basis) sama, pangkat dijumlahkan.

b. $a^{m}\ :\ a^{n}\ =\ \frac{a^{m}}{a^{n}}\ =\ a^{m-n}$
Pembagian dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok (basis) sama, pangkat dikurangkan.

c. $\left ( a^{m} \right )^{n}\ =\ a^{m\times n}$
Perpangkatan bilangan berpangkat, pangkat dikalikan.

2. Jika a > 0, b > 0 dan m bilangan rasional, maka:

a. $\left ( a\times b \right )^{m}\ =\ a^{m}\ \times\ b^{m}$
Pangkat dari perkalian bilangan adalah hasil kali pangkat masing-masing bilangan.

b. $\left ( \frac{a}{b} \right )^{m}\ =\ \left ( \frac{a^{m}}{b^{m}} \right )$
Pangkat dari pembagian bilangan adalah hasil bagi pangkat masing-masing bilangan.

3. Jika $a\neq 0$, maka $a^{0}=1$

Bukti: dari sifat $a^{m}\ :\ a^{n}\ =\ \frac{a^{m}}{a^{n}}\ =\ a^{m-n}$
$2^{4}\ :\ 2^{2}\ =\ \frac{2^{4}}{2^{2}}\ =\ \frac{16}{4}\ =\ 4\\ 2^{4}\ :\ 2^{2}\ =\ \frac{2^{4}}{2^{4}}\ =\ \frac{16}{16}\ =\ 1\\ 2^{4}\ :\ 2^{4}\ =\ \frac{2^{4}}{2^{4}}\ =\ 2^{4-4}\ =\ 2^{0} =\ 1$

4. Jika a > 0 dan m bilangan rasional, maka $a^{-m}\ =\ \frac{1}{a^{m}}$

5. Jika m, n bilangan bulat, n > 1 serta $\frac{m}{n}$ bilangan rasional, maka $a^{\frac{m}{n}}\ =\ \sqrt[n]{a^{m}}$

Menentukan Himpunan Penyelesaian Persamaan Eksponen


Persamaan eksponen berbentuk $a^{f\left ( x \right )}\ =\ 1$

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen $a^{f\left ( x \right )}\ =\ 1$, dapat ditentukan dengan sifat berikut.
Jika $a> 0,\ a\neq 1$ dan $a^{f\left ( x \right )}\ =\ 1$, maka $f\left ( x \right )\ =\ 0$

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut.
a. $3^{2x-1}\ =\ 1$
b. $5^{x^{2}+3x-10}\ =\ 1$

Jawab

a. $3^{2x-1}\ =\ 1$
$\Leftrightarrow\ 3^{2x-1}\ =\ 3^{0}\\ \Leftrightarrow\ 2x-1=0\\ \Leftrightarrow\ 2x=1\\ \Leftrightarrow\ x=\frac{1}{2}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ \frac{1}{2} \right \}$

b. $5^{x^{2}+3x-10}\ =\ 1$
$5^{x^{2}+3x-10}\ =\ 5^{0}\\ \Leftrightarrow\ x^{2}+3x-10=0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x+5 \right )\left ( x-2 \right )=0$
$\Leftrightarrow\ x=-5$ atau $x=2$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ -5,2 \right \}$


Persamaan eksponen berbentuk $a^{f\left ( x \right )}\ =\ a^{p}$

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen $a^{f\left ( x \right )}\ =\ a^{p}$, dapat ditentukan dengan sifat berikut.
Jika $a> 0,\ a\neq 1$ dan $a^{f\left ( x \right )}\ =\ a^{p}$, maka $f\left ( x \right )\ =\ p$

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut.
a. $2^{x^{2}-5x}\ =\ 2^{6}$
b. $9^{x-6}\ =\ \frac{1}{27}\sqrt{3}$

Jawab

a. $2^{x^{2}-5x}\ =\ 2^{6}$
$\Leftrightarrow\ x^{2}-5x\ =\ 6\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-5x-6=0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x-6 \right )\left ( x+1 \right )=0$
$\Leftrightarrow\ x=6$ atau $x=-1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ -1,6 \right \}$

b. $9^{x-6}\ =\ \frac{1}{27}\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow\ \left ( 3^{2} \right )^{x-6}\ =\ \frac{1}{3^{3}}\ \times\ 3^{\frac{1}{2}}\\ \Leftrightarrow\ 3^{2x-12}\ =\ 3^{-3}\ \times\ 3^{\frac{1}{2}}\\ \Leftrightarrow\ 3^{2x-12}\ =\ 3^{-\frac{5}{2}}$

$\Leftrightarrow\ 2x-12=-\frac{5}{2}\\ \Leftrightarrow\ 4x-24=-5\\ \Leftrightarrow\ 4x=19\\ \Leftrightarrow\ x=\frac{19}{4}\ =\ 4\frac{3}{4}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ 4\frac{3}{4} \right \}$


Persamaan eksponen berbentuk $a^{f\left ( x \right )}\ =\ a^{g\left ( x \right )}$

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen $a^{f\left ( x \right )}\ =\ a^{g\left ( x \right )}$, dapat ditentukan dengan sifat berikut.
Jika $a> 0,\ a\neq 1$ dan $a^{f\left ( x \right )}\ =\ a^{g\left ( x \right )}$, maka $f\left ( x \right )\ =\ g\left ( x \right )$

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut.
a. $27^{2x-5}\ =\ 243^{x-4}$
b. $25^{x^{2}+2}\ =\ 125^{2x^{2}-x+1}$

Jawab

a. $27^{2x-5}\ =\ 243^{x-4}$
$\Leftrightarrow\ \left ( 3^{3} \right )^{2x-5}\ =\ \left ( 3^{5} \right )^{x-4}\\ \Leftrightarrow\ 3^{6x-15}\ =\ 3^{5x-20}\\ \Leftrightarrow\ 6x-15\ =\ 5x-20\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ -5 $
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ -5 \right \}$

b. $25^{x^{2}+2}\ =\ 125^{2x^{2}-x+1}$
$\Leftrightarrow\ \left ( 5^{2} \right )^{x^{2}+2}\ =\ \left ( 5^{3} \right )^{2x^{2}-x+1}\\ \Leftrightarrow\ 5^{2x^{2}+4}\ =\ 5^{6x^{2}-3x+3}\\ \Leftrightarrow\ 2x^{2}+4\ =\ 6x^{2}-3x+3\\ \Leftrightarrow\ 6x^{2}-2x^{2}-3x+3-4\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ 4x^{2}-3x-1\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( 4x+1 \right )\left ( x-1 \right )\ =\ 0$
$\Leftrightarrow\ x\ =\ -\frac{1}{4}$ atau $x\ =\ 1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ -\frac{1}{4}, 1 \right \}$


Persamaan eksponen berbentuk $h\left ( x \right )^{f\left ( x \right )}\ =\ h\left ( x \right )^{g\left ( x \right )}$

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen $h\left ( x \right )^{f\left ( x \right )}\ =\ h\left ( x \right )^{g\left ( x \right )}$, dimana $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ suatu fungsi aljabar, dapat ditentukan dengan memperhatikan beberapa kemungkinan, yaitu:

a. Persamaan berlaku jika pangkatnya sama $\left ( f\left ( x \right )\ =\ g\left ( x \right ) \right )$

b. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok $h\left ( x \right )\ =\ 1$, karena $1^{f\left ( x \right )}\ =\ 1^{g\left ( x \right )}$

c. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok $h\left ( x \right )\ =\ -1$, dengan syarat $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ keduanya bernilai genap atau $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ keduanya bernilai ganjil

d. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok $h\left ( x \right )\ =\ 0$, dengan syarat $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ keduanya bernilai positif

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut.
$\left ( x^{2}-9x+19 \right )^{2x+3}\ =\ \left ( x^{2}-9x+19 \right )^{x-1}$

Jawab

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen itu ditentukan dengan memperhatikan kemungkinan berikut.

a. $f\left ( x \right )\ =\ g\left ( x \right )\\ \Leftrightarrow\ 2x+3\ =\ x-1\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ -4$

b. $h\left ( x \right )\ =\ 1\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-9x+19\ =\ 1\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-9x+18\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x-6 \right )\left ( x-3 \right )\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ 6\ atau\ x\ =\ 3$

c. $h\left ( x \right )\ =\ -1\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-9x+19\ =\ -1\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-9x+20\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x-5 \right )\left ( x-4 \right )\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ 5\ atau\ x\ =\ 4$

Kedua nilai $x$ ini harus diuji dengan mensubstitusikan ke dalam $\left ( f\left ( x \right )\ =\ g\left ( x \right ) \right )$

Untuk $x\ =\ 5$ didapat:
$f\left ( x \right )\ =\ 2x+3\ \Leftrightarrow\ f\left ( 5 \right )\ =\ 2\left ( 5 \right )+3\ =\ 13$ (ganjil)
$g\left ( x \right )\ =\ x-1\ \Leftrightarrow\ g\left ( 5 \right )\ =\ 5-1\ =\ 4$ (genap)
Jadi, $x\ =\ 5$ bukan penyelesaian karena $\left ( -1 \right )^{13}\ \neq\ \left ( -1 \right )^{4}$

Untuk $x\ =\ 4$ didapat:
$f\left ( x \right )\ =\ 2x+3\ \Leftrightarrow\ f\left ( 4 \right )\ =\ 2\left ( 4 \right )+3\ =\ 11$ (ganjil)
$g\left ( x \right )\ =\ x-1\ \Leftrightarrow\ g\left ( 4 \right )\ =\ 4-1\ =\ 3$ (ganjil)
Jadi, $x\ =\ 4$ merupakan penyelesaian karena $\left ( -1 \right )^{11}\ \neq\ \left ( -1 \right )^{3}$

d. $h\left ( x \right )\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-9x+19\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ \frac{9+\sqrt{5}}{2}\ atau\ x\ =\ \frac{9-\sqrt{5}}{2}$

Gunakan rumus abc
Kedua nilai $x$ ini juga harus diuji dengan mensubstitusikan ke dalam $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$

Untuk $x\ =\ \frac{9+\sqrt{5}}{2}$ didapat:
$f\left ( x \right )\ =\ 2x+3\ \Leftrightarrow\ f\left ( \frac{9+\sqrt{5}}{2} \right )\ =\ 2\left ( \frac{9+\sqrt{5}}{2} \right )+3$ (positif)
$g\left ( x \right )\ =\ x-1\ \Leftrightarrow\ g\left ( \frac{9+\sqrt{5}}{2} \right )\ =\ \left ( \frac{9+\sqrt{5}}{2} \right )-1$ (positif)
Jadi, $x\ =\ \frac{9+\sqrt{5}}{2}$ merupakan penyelesaian

Untuk $x\ =\ \frac{9-\sqrt{5}}{2}$ didapat:
$f\left ( x \right )\ =\ 2x+3\ \Leftrightarrow\ f\left ( \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right )\ =\ 2\left ( \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right )+3$ (positif)
$g\left ( x \right )\ =\ x-1\ \Leftrightarrow\ g\left ( \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right )\ =\ \left ( \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right )-1$ (positif)
Jadi, $x\ =\ \frac{9-\sqrt{5}}{2}$ merupakan penyelesaian

Dari a, b, c, dan d, maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ -4,\ 3,\ 4,\ 6,\ \frac{9+\sqrt{5}}{2},\ \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right \}$


Persamaan eksponen berbentuk $A\left ( a^{f\left ( x \right )} \right )^{2}\ +\ B\left ( a^{f\left ( x \right )} \right )\ +\ C\ =\ 0$

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen $A\left ( a^{f\left ( x \right )} \right )^{2}\ +\ B\left ( a^{f\left ( x \right )} \right )\ +\ C\ =\ 0$, dimana $a\ >\ 0$ dan $a\ \neq\ 1$, dapat ditentukan dengan mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk persamaan kuadrat.

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut.
$5^{4x-3}\ +\ 25^{3-2x}\ =\ 30$

Jawab

$5^{4x-3}\ +\ 25^{3-2x}\ =\ 30\\ \Leftrightarrow\ 5^{4x-3}\ +\ \left ( 5^{2} \right )^{3-2x}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ 5^{4x-3}\ +\ 5^{6-4x}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ 5^{4x-3}\ +\ 5^{3+3-4x}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ 5^{4x-3}\ +\ 5^{3}\ .\ 5^{3-4x}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ 5^{4x-3}\ +\ 5^{3}\ .\ 5^{-\left ( 4x-3 \right )}\ -\ 30\ =\ 0\\$

Misalkan $5^{4x-3}\ =\ p$, maka persamaan tersebut menjadi:

$\Leftrightarrow\ p\ +\ 5^{3}\ .\ p^{-1}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ p\ +\ 125\ .\ \frac{1}{p}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ p\ +\ \frac{125}{p}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ p^{2}\ +\ 125\ -\ 30p\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ p^{2}\ -\ 30p\ +\ 125\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( p-25 \right )\left ( p-5 \right )\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ p\ =\ 25\ atau\ p\ =\ 5$

Untuk $p\ =\ 25$ didapat:
$5^{4x-3}\ =\ 25\\ 5^{4x-3}\ =\ 5^{2}\\ \Leftrightarrow\ 4x-3\ =\ 2\\ \Leftrightarrow\ 4x\ =\ 5\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ \frac{5}{4}$

Untuk $p\ =\ 5$ didapat:
$5^{4x-3}\ =\ 5\\ \Leftrightarrow\ 4x-3\ =\ 1\\ \Leftrightarrow\ 4x\ =\ 4\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ 1$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{1,\ \frac{5}{4} \right \}$


Fungsi Eksponen


Fungsi Eksponen

Pengertian Fungsi Eksponen


Fungsi eksponen $f$ dengan bilangan pokok $a$ adalah fungsi yang didefinisikan $f:x\ \rightarrow\ a^{x}$ dengan $𝑎\ >\ 0$, $a\ \neq\ 1$ dan $x\ \in\ R$ (himpunan bilangan real). Fungsi ini memetakan setiap bilangan real $x$ dengan tunggal ke bilangan real positif $a^{x}$.

Fungsi eksponen $f:x\ \rightarrow\ a^{x}$ dinyatakan dalam bentuk $f\left ( x \right )\ =\ a^{x}$. Sedangkan persamaan fungsi eksponen dinyatakan dalam $y\ =\ a^{x}$, dengan daerah asal (domain) dari $f$ adalah $D_{f}\ =\ \left \{ x\mid\ -\infty < x< +\infty ,\ x\in R \right \}$ dan daerah hasil (range) dari $f$ adalah $R_{f}\ =\ \left \{ y\ \mid\ y> 0,\ y\in R \right \}$.

Grafik Fungsi Eksponen


Sifat-sifat fungsi eksponen $f:x\ \rightarrow\ a^{x}$ dapat ditentukan melalui grafik fungsi eksponen. Berikut ini akan digambarkan grafik fungsi eksponen.


Grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ a^{x}$ atau $y\ =\ a^{x}$, dengan basis $a\ >\ 1$

Cara menggambar grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ a^{x}$, $a\ >\ 1$ akan diperlihatkan pada contoh berikut.

Contoh
Gambarkanlah grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ 2^{x},\ x\ \in\ R$

Jawab

Untuk mengambarkan grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ 2^{x}$, dapat diambil beberapa titik penting, yaitu nilai $x$, sehingga nilai $y$ mudah ditentukan seperti tabel berikut.

$x$ $f\left ( x \right )\ =\ 2^{x}$
... ...
$-3$ $\frac{1}{8}$
$-2$ $\frac{1}{4}$
$-1$ $\frac{1}{2}$
$0$ $1$
$1$ $2$
$2$ $4$
$3$ $8$
... ...

Grafik Fungsi Ekponen Naik Monoton

Tampak pada grafik bahwa fungsi $f\left ( x \right )\ =\ 2^{x},\ x\ \in\ R$ merupakan fungsi naik monoton, karena untuk $x_{2}\ >\ x_{1}$, maka $a^{x_{2}}\ >\ a^{x_{1}}$. Sehingga fungsi eksponen $f\left ( x \right )\ =\ a^{x},\ a\ >\ 1$ akan semakin besar nilainya jika nilai peubah $x$ makin besar (naik monoton).


Grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ a^{x}$ atau $y\ =\ a^{x}$, dengan basis $0\ <\ a\ <\ 1$

Cara menggambar grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ a^{x}$, $0\ <\ a\ <\ 1$ akan diperlihatkan pada contoh berikut.

Contoh
Gambarkanlah grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ \frac{1}{2}^{x},\ x\ \in\ R$

Jawab

Untuk mengambarkan grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ \frac{1}{2}^{x}$,dapat diambil beberapa titik yang menunjukkan hubungan $x$ dengan $f\left ( x \right )\ =\ \frac{1}{2}^{x}$.

$x$ $f\left ( x \right )\ =\ \frac{1}{2}^{x}$
... ...
$-3$ $8$
$-2$ $4$
$-1$ $2$
$0$ $1$
$1$ $\frac{1}{2}$
$2$ $\frac{1}{4}$
$3$ $\frac{1}{8}$
... ...

Grafik Fungsi Ekponen Turun Monoton

Tampak pada grafik bahwa fungsi $f\left ( x \right )\ =\ \frac{1}{2}^{x},\ x\ \in\ R$ merupakan fungsi turun monoton, karena untuk $x_{2}\ >\ x_{1}$, maka $a^{x_{2}}\ <\ a^{x_{1}}$. Sehingga fungsi eksponen $f\left ( x \right )\ =\ a^{x},\ 0\ <\ a\ <\ 1$ akan semakin kecil nilainya jika nilai variabel $x$ makin besar (turun monoton).


Pertidaksamaan Eksponen


Pertidaksamaan Eksponen

Dari pembahasan grafik fungsi eksponen $f\left ( x \right )\ =\ a^{x}$, diperoleh sifat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen sebagai berikut.
1. Untuk $a\ >\ 1$, jika $x_{2}\ >\ x_{1}$ maka $a^{x_{2}}\ >\ a^{x_{1}}$ atau sebaliknya jika $a^{x_{2}}\ >\ a^{x_{1}}$ maka $x_{2}\ >\ x_{1}$
2. Untuk $0< a< 1$ jika $x_{2}\ >\ x_{1}$ maka $a^{x_{2}}\ <\ a^{x_{1}}$ atau sebaliknya jika $a^{x_{2}}\ <\ a^{x_{1}}$ maka $x_{2}\ >\ x_{1}$

Dalam pertidaksamaan eksponen sifat tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.
1. Jika $a\ >\ 1$, maka:
* $a^{g\left ( x \right )}\ \geq\ a^{h\left ( x \right )}$ jika dan hanya jika $g\left ( x \right )\ \geq\ h\left ( x \right )$
* $a^{g\left ( x \right )}\ \leq\ a^{h\left ( x \right )}$ jika dan hanya jika $g\left ( x \right )\ \leq\ h\left ( x \right )$

2. Jika $0\ <\ a\ <\ 1$, maka:
* $a^{g\left ( x \right )}\ \geq\ a^{h\left ( x \right )}$ jika dan hanya jika $g\left ( x \right )\ \leq\ h\left ( x \right )$
* $a^{g\left ( x \right )}\ \leq\ a^{h\left ( x \right )}$ jika dan hanya jika $g\left ( x \right )\ \geq\ h\left ( x \right )$

Contoh1
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen berikut ini.
a. $4^{x^{2}+4x-3}\ <\ 16$
b. $2^{x}\ >\ 32^{x-1}$
c. $3^{2x+1}\ +\ 5\ .\ 3^{x}\ >\ 2$

Jawab

a. $4^{x^{2}+4x-3}\ <\ 16$
$\Leftrightarrow\ 4^{x^{2}+4x-3}\ <\ 4^{2}\\ \Leftrightarrow\ x^{2}+4x-3\ <\ 2\\ \Leftrightarrow\ x^{2}+4x-5\ <\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x+5 \right )\left ( x-1 \right )\ <\ 0\\ \Leftrightarrow\ -5< x< 1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ x\mid -5< x< 1,\ x\in R \right \}$

b. $2^{x}\ >\ 32^{x-1}$
$\Leftrightarrow\ 2^{x}\ >\ \left ( 2^{5} \right )^{x-1}\\ \Leftrightarrow\ 2^{x}\ >\ 2^{5x-5}\\ \Leftrightarrow\ x\ >\ 5x-5\\ \Leftrightarrow\ -4x\ >\ -5\\ \Leftrightarrow\ x\ <\ \frac{5}{4}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ x\mid x< \frac{5}{4},\ x\in R \right \}$

c. $3^{2x+1}\ +\ 5\ .\ 3^{x}\ >\ 2$
$\Leftrightarrow\ 3^{2x}\ .\ 3\ +\ 5\ .\ 3^{x}\ >\ 2\\ \Leftrightarrow\ 3^{2x}\ .\ 3\ +\ 5\ .\ 3^{x}\ -\ 2\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ 3p^{2}\ +\ 5p\ -\ 2\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( 3p-1 \right )\left ( p+2 \right )\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ p\ <\ -2\ atau\ p\ >\ \frac{1}{3}$

* $p\ <\ -2$ (tidak memenuhi, sebab $3^{x}\ >\ 0$)

* $p\ >\ \frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow\ 3^{x}\ >\ \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow\ 3^{x}\ >\ 3^{-1}\\ \Leftrightarrow\ x\ >\ -1$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ x\mid x\ >\ -1,\ x\in R \right \}$

Contoh2
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen berikut ini
a. $\left ( \frac{1}{25} \right )^{x+2}\ <\ \left ( \frac{1}{125} \right )^{x-3}$
b. $\left ( \frac{1}{3} \right )^{9x-x^{2}}\ >\ \left ( \frac{1}{9} \right )^{x}$
c. $\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-1} >\ 8$

Jawab

a. $\left ( \frac{1}{25} \right )^{x+2}\ <\ \left ( \frac{1}{125} \right )^{x-3}$
$\Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{5} \right )^{2\left ( x+2 \right )}\ <\ \left ( \frac{1}{5} \right )^{3\left ( x-3 \right )}\\ \Leftrightarrow\ 2x+4\ >\ 3x-9\\ \Leftrightarrow\ -x\ >\ -13\\ \Leftrightarrow\ x\ <\ 13$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ x\mid x\ <\ 13,\ x\in R \right \}$

b. $\left ( \frac{1}{3} \right )^{9x-x^{2}}\ >\ \left ( \frac{1}{9} \right )^{x}$
$\Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{3} \right )^{9x-x^{2}}\ >\ \left ( \frac{1}{3} \right )^{2x}\\ \Leftrightarrow\ 9x-x^{2}\ <\ 2x\\ \Leftrightarrow\ -x^{2}+9x-2x\ <\ 0\\ \Leftrightarrow\ -x^{2}+7x\ <\ 0\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-7x\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ x\left ( x-7 \right )>\ 0\\ \Leftrightarrow\ x\ <\ 0\ atau\ x\ >\ 7$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ x\mid x\ <\ 0\ atau\ x\ >\ 7,\ x\in R \right \}$

c. $\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-1} >\ 8$
$\Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{2x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-1}\ -\ 8\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{2x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ .\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{-1}\ -\ 8\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{2x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ .\ 2\ -\ 8\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ p^{2}\ -\ 2p\ -\ 8\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( p-4 \right )\left ( p+2 \right )\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ p\ <\ -2\ atau\ p\ >\ 4$

* $p\ <\ -2$ (tidak memenuhi, sebab $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ >\ 0$)

* $p\ >\ 4$
$\Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ >\ 4\\ \Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ >\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{-2}\\ \Leftrightarrow\ x\ <\ -2$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ x\mid x\ <\ -2,\ x\in R \right \}$

Demikian materi tentang persamaan, fungsi dan pertidaksamaan eksponen, semoga bermanfaat. Salam Ono Niha - Ya'ahowu

Post a Comment for "Persamaan Eksponen (Bilangan Berpangkat), Fungsi dan Pertidaksamaannya"