Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Persamaan Logaritma, Sifat Beserta Cara Menentukan Penyelesaiannya

Artikel ini mengulas tentang persamaan logaritma dan juga sifat-sifat yang digunakan untuk menyelesaikan soal-soal logaritma


Persamaan Logaritma

Logaritma diperkenalkan pertama kali oleh John Napier (matematikawan Skotlandia). Napier menemukan sebuah sistem yang dikenal “Napierian Logarithm”. Sistem ini digunakan untuk perhitungan yang kompleks, tidak hanya melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, tetapi juga perpangkatan dan fungsi trigonometri.




Banyak sekali masalah dalam ilmu pengetahuan, teknologi maupun dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan fungsi atau persamaan logaritma, terutama peristiwa pertumbuhan dan peluruhan. Hal ini dikarenakan logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen.

Logaritma matematika juga digunakan untuk memecahkan masalah eksponen yang sulit dicari akar-akar atau penyelesaiannya.


Persamaan Logaritma


Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen.

Bisa ditulis:

$a^{c}=b\ \Leftrightarrow\ _{}^{a}\textrm{log}\ b=c$

Logaritma dari b dengan bilangan pokok a ditulis sebagai $_{}^{a}\textrm{log}\ b$ dengan a > 0, a ≠ 1 dan b ≥ 0 (b disebut numerus).

Suatu persamaan dengan numerus atau bilangan logaritmanya memuat variabel x disebut persamaan logaritma. Contoh persamaan logaritma:
$_{}^{2}\textrm{log}\ x\left ( x+4 \right )=\ _{}^{2}\textrm{log}\ 12$
$_{}^{3}\textrm{log}\ \left ( x+1 \right )+\ _{}^{3}\textrm{log}\ \left ( x+2 \right )=\ _{}^{9}\textrm{log}\ \left ( 4x+4 \right )$


Sifat-Sifat Logaritma


Sifat-sifat logaritma adalah sebagai berikut:
Misalkan q, a, b, n, p > 0, q ≠ 1 dan a ≠ 1, p ≠ 1:

A. (i) $_{}^{q}\textrm{log}\ 1 = 0$ (ii) $_{}^{q}\textrm{log}\ q = 1$ (iii) $_{}^{q}\textrm{log}\ q^{n} = n$

B. $_{}^{q}\textrm{log}\ ab=\ _{}^{q}\textrm{log}\ a+\ _{}^{q}\textrm{log}\ b$

C. $_{}^{q}\textrm{log}\ \frac{a}{b}=\ _{}^{q}\textrm{log}\ a-\ _{}^{q}\textrm{log}\ b$

D. $_{}^{q}\textrm{log}\ a^{n} = n\ _{}^{q}\textrm{log}\ a$

E. $_{}^{a}\textrm{log}\ b=\frac{_{}^{p}\textrm{log}\ a}{_{}^{p}\textrm{log}\ b}$

F. $a\ _{}^{a}\textrm{log}\ b=b$

G. $_{}^{a}\textrm{log}\ b\ \times\ _{}^{b}\textrm{log}\ a=1$

Catatan: Logaritma dengan bilangan pokok 10, bilangan pokok biasanya tidak ditulis. Jadi, $_{}^{10}\textrm{log}\ a$ ditulis $_{}^{}\textrm{log}\ a$.

Contoh 1:
Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut ini!
a. $3\ _{}^{3}\textrm{log}\ 5+2\ _{}^{3}\textrm{log}\ 2$
b. $\frac{1}{3}\ _{}^{5}\textrm{log}\ 27+ _{}^{5}\textrm{log}\ 3-\frac{2}{3}\ _{}^{5}\textrm{log}\ 3$

Jawab:
a. $3\ _{}^{3}\textrm{log}\ 5+2\ _{}^{3}\textrm{log}\ 2$
= $_{}^{3}\textrm{log}\ 5^{3}+_{}^{3}\textrm{log}\ 2^{2}$
= $_{}^{3}\textrm{log}\ 125+_{}^{3}\textrm{log}\ 4$
= $_{}^{3}\textrm{log}\ 125\ \times \ 4$
= $_{}^{3}\textrm{log}\ 500$

b. $\frac{1}{3}\ _{}^{5}\textrm{log}\ 27+ _{}^{5}\textrm{log}\ 3-\frac{2}{3}\ _{}^{5}\textrm{log}\ 3$
= $_{}^{5}\textrm{log}\ 27^{\frac{1}{3}}+ _{}^{5}\textrm{log}\ 3-_{}^{5}\textrm{log}\ 3^{\frac{2}{3}}$
= $_{}^{5}\textrm{log}\ \left ( 3^{3} \right )^{\frac{1}{3}}+ _{}^{5}\textrm{log}\ 3-_{}^{5}\textrm{log}\ 3^{\frac{2}{3}}$
= $_{}^{5}\textrm{log}\ 3+ _{}^{5}\textrm{log}\ \frac{3}{3^{\frac{2}{3}}}$
= $_{}^{5}\textrm{log}\ 3+ _{}^{5}\textrm{log}\ 3^{\frac{1}{3}}$
= $_{}^{5}\textrm{log}\ 3\ \times \ 3^{\frac{1}{3}}$
= $_{}^{5}\textrm{log}\ 3^{\frac{4}{3}}$
= $_{}^{5}\textrm{log}\ \sqrt[3]{81}$
= $_{}^{5}\textrm{log}\ 3\ \sqrt[3]{3}$

Contoh 2:
Tentukan nilai dari logaritma berikut ini!
a. $8\ _{}^{2}\textrm{log}\ 3$
b. $_{}^{b}\textrm{log}\ \frac{1}{a^{2}}\ \times \ _{}^{a}\textrm{log}\ b$
c. $\frac{1}{2}^{_{}^{2}\textrm{log}\ 4}\ \times \ 3^{_{}^{9}\textrm{log}\ 16}\ \times \ 5^{_{}^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\ 2}$

Jawab:
a. $8\ _{}^{2}\textrm{log}\ 3$
= $\left ( 2 \right )^{3}\ _{}^{2}\textrm{log}\ 3$
= $\left ( 2 \right )\ _{}^{2}\textrm{log}\ 3^{3}$
= $27$

b. $_{}^{b}\textrm{log}\ \frac{1}{a^{2}}\ \times \ _{}^{a}\textrm{log}\ b$
= $_{}^{b}\textrm{log}\ a^{-2}\ \times \ _{}^{a}\textrm{log}\ b$
= $-2\ _{}^{b}\textrm{log}\ a \times \ _{}^{a}\textrm{log}\ b$
= $-2\ \times\ 1$
= $-2$

c. $\frac{1}{2}^{_{}^{2}\textrm{log}\ 4}\ \times \ 3^{_{}^{9}\textrm{log}\ 16}\ \times \ 5^{_{}^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\ 2}$
= $2^{_{}^-1\ \times\ _{}^{2}\textrm{log}\ 4}\ \times \ 9^{\frac{1}{2}\ \times\ _{}^{9}\textrm{log}\ 16}\ \times \ \frac{1}{5}^{-1\ \times\ _{}^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\ 2}$
= $2^{_{}^{2}\textrm{log}\ 4^{-1}}\ \times \ 9^{_{}^{9}\textrm{log}\ 16^{\frac{1}{2}}}\ \times \ \frac{1}{5}^{_{}^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\ 2^{-1}}$
= $4^{-1}\ \times\ 16^{\frac{1}{2}}\ \times \ 2^{-1}$
= $\frac{1}{4}\ \times\ 4\ \times\ \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$


Menentukan Penyelesaian Persamaan Logaritma


Persamaan logaritma berbentuk $_{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right )\ =\ _{}^{a}\textrm{log}\ p$

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma $_{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right )\ =\ _{}^{a}\textrm{log}\ p$ dengan a > 0, a ≠ 1, dapat ditentukan dengan sifat berikut:

Jika p > 0 dan $_{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right )\ =\ _{}^{a}\textrm{log}\ p$, maka $f\left ( x \right )\ =\ p$ asalkan $f\left ( x \right )\ > \ 0$

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut!
a. $_{}^{}\textrm{log}\left ( 2x-3 \right )-_{}^{}\textrm{log}\left ( x-3 \right )=_{}^{}\textrm{log}\ 5$
b. $_{}^{3}\textrm{log}\ \left ( x-3 \right )\ =\ _{}^{9}\textrm{log}\ 16$

Jawab:
a. $_{}^{}\textrm{log}\left ( 2x-3 \right )-_{}^{}\textrm{log}\left ( x-3 \right )=_{}^{}\textrm{log}\ 5$

(i) Numerus harus positif $\left ( f\left ( x \right )\ > \ 0 \right )$
$2x-3> 0\ \Leftrightarrow\ x> \frac{3}{2}$
$x-3> 0\ \Leftrightarrow\ x> 3$
Syarat numerus yang harus dipenuhi adalah $x> 3$

(ii) $_{}^{}\textrm{log}\left ( 2x-3 \right )-_{}^{}\textrm{log}\left ( x-3 \right )=_{}^{}\textrm{log}\ 5$

$_{}^{}\textrm{log}\frac{2x-3}{x-3}=_{}^{}\textrm{log}\ 5$

$\frac{2x-3}{x-3}=5$

$2x-3=5x-15$
$3x=12$
$x=4$

Karena $x> 3$, maka himpunan penyelesaiannya adalah {4}.

b. $_{}^{3}\textrm{log}\ \left ( x-3 \right )\ =\ _{}^{9}\textrm{log}\ 16$

(i) Numerus harus positif $\left ( f\left ( x \right )\ > \ 0 \right )$
$x-3> 0\ \Leftrightarrow\ x> 3$
Syarat numerus yang harus dipenuhi adalah $x> 3$

(ii) $_{}^{3}\textrm{log}\ \left ( x-3 \right )\ =\ _{}^{9}\textrm{log}\ 16$
$_{}^{3}\textrm{log}\ \left ( x-3 \right )\ =\ \frac{_{}^{3}\textrm{log}\ 16}{_{}^{3}\textrm{log}\ 9}$
$_{}^{3}\textrm{log}\ \left ( x-3 \right )\ =\ \frac{_{}^{3}\textrm{log}\ 16}{2}$
$2\ \times\ _{}^{3}\textrm{log}\ \left ( x-3 \right )\ =\ _{}^{3}\textrm{log}\ 16$
$_{}^{3}\textrm{log}\ \left ( x-3 \right )^{2}\ =\ _{}^{3}\textrm{log}\ 16$
$\left ( x-3 \right )^{2}\ =\ 16$
$x^{2}-6x+9=16$
$x^{2}-6x-7=0$
$\left ( x-7 \right )\left ( x+1 \right )=0$
$x=7$ atau $x=-1$

Karena $x> 3$, maka himpunan penyelesaiannya adalah {7}.


Persamaan logaritma berbentuk $_{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right )\ =\ _{}^{b}\textrm{log}\ f\left ( x \right )$

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma $_{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right )\ =\ _{}^{b}\textrm{log}\ f\left ( x \right )$ dengan a > 0, ab serta $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ fungsi aljabar, dapat ditentukan dengan sifat berikut:

Jika $_{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right )\ =\ _{}^{b}\textrm{log}\ f\left ( x \right )$, maka $f\left ( x \right )\ =\ 1$ asalkan $f\left ( x \right )\ > \ 0$, ab


Persamaan logaritma berbentuk $_{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right )\ =\ _{}^{a}\textrm{log}\ g\left ( x \right )$

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma $_{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right )\ =\ _{}^{a}\textrm{log}\ g\left ( x \right )$ dengan a > 0, a ≠ 1 serta $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ fungsi aljabar, dapat ditentukan dengan sifat berikut:

Jika $_{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right )\ =\ _{}^{a}\textrm{log}\ g\left ( x \right )$, maka $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$ asalkan $f\left ( x \right )> 0,\ g\left ( x \right )> 0$

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut!
a. $_{}^{3}\textrm{log}\left ( x^{2}+3x+2 \right )=\ _{}^{3}\textrm{log}\left ( 5x+5 \right )$
b. $_{}^{2}\textrm{log}\left ( _{}^{2}\textrm{log}\left ( x+7 \right )+1 \right )=\ _{}^{2}\textrm{log}\left ( _{}^{2}\textrm{log}\ x\ +\ _{}^{2}\textrm{log}\left ( x-3 \right ) \right )$

Jawab:
a. $_{}^{3}\textrm{log}\left ( x^{2}+3x+2 \right )=\ _{}^{3}\textrm{log}\left ( 5x+5 \right )$

(i) Numerus harus positif $\left ( f\left ( x \right )\ > \ 0 \right )$
$\Leftrightarrow\ x^{2}+3x+2> 0\ \Leftrightarrow \ \left ( x+2 \right )\left ( x+1 \right )> 0$
Jadi, $x< -2$ atau $x>-1$
$\Leftrightarrow\ 5x+5> 0\ \Leftrightarrow \ x> -1$
Syarat numerus yang harus dipenuhi adalah $x> -1$

(ii) $_{}^{3}\textrm{log}\left ( x^{2}+3x+2 \right )=\ _{}^{3}\textrm{log}\left ( 5x+5 \right )$
$\Leftrightarrow\ x^{2}+3x+2=5x+5$
$\Leftrightarrow\ x^{2}-2x-3=0$
$\Leftrightarrow\ \left ( x-3 \right )\left ( x+1 \right )=0$
$\Leftrightarrow\ x=3$ atau $x=-1$
Karena $x> -1$, maka himpunan penyelesaiannya adalah {3}.

b. Persamaan ini terdiri dari dua logaritma, jadi kita selesaikan satu persatu.
$_{}^{2}\textrm{log}\left ( _{}^{2}\textrm{log}\left ( x+7 \right )+1 \right )=\ _{}^{2}\textrm{log}\left ( _{}^{2}\textrm{log}\ x\ +\ _{}^{2}\textrm{log}\left ( x-3 \right ) \right )$
$\Leftrightarrow\ _{}^{2}\textrm{log}\left ( _{}^{2}\textrm{log}\left ( x+7 \right )+\ _{}^{2}\textrm{log}\ 2 \right )=\ _{}^{2}\textrm{log}\left ( _{}^{2}\textrm{log}\ x\left ( x-3 \right ) \right )$
$\Leftrightarrow\ _{}^{2}\textrm{log}\left ( _{}^{2}\textrm{log}\ 2\left ( x+7 \right ) \right )=\ _{}^{2}\textrm{log}\left ( _{}^{2}\textrm{log}\ x\left ( x-3 \right ) \right )$

Dengan menghapus logaritma yang pertama, maka menjadi:
$_{}^{2}\textrm{log}\ \left ( 2x+14 \right )=\ _{}^{2}\textrm{log}\ x\left ( x^{2}-3x \right )$

(i) Numerus harus positif $\left ( f\left ( x \right )\ > \ 0 \right )$
$2x+14> 0\ \Leftrightarrow\ x> -7\\ x^{2}-3x> 0\ \Leftrightarrow\ x\left ( x-3 \right )> 0$
$\Leftrightarrow\ x< 0$ atau $x>3$
Syarat numerus yang harus dipenuhi adalah $x>3$

(ii) $_{}^{2}\textrm{log}\ \left ( 2x+14 \right )=\ _{}^{2}\textrm{log}\ x\left ( x^{2}-3x \right )$
$\Leftrightarrow\ 2x+14=x^{2}-3x\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-5x-14=0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x-7 \right )\left ( x+2 \right )=0$
$\Leftrightarrow\ x=7$ atau $x=-2$
Karena $x>3$, maka himpunan penyelesaiannya adalah {7}.

Persamaan logaritma berbentuk $_{}^{h\left ( x \right )}\textrm{log}\ f\left ( x \right )\ =\ _{}^{h\left ( x \right )}\textrm{log}\ g\left ( x \right )$

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma $_{}^{h\left ( x \right )}\textrm{log}\ f\left ( x \right )\ =\ _{}^{h\left ( x \right )}\textrm{log}\ g\left ( x \right )$ dengan $f\left ( x \right )$, $g\left ( x \right )$ dan $h\left ( x \right )$ fungsi aljabar, dapat ditentukan dengan sifat berikut:

Jika $_{}^{h\left ( x \right )}\textrm{log}\ f\left ( x \right )\ =\ _{}^{h\left ( x \right )}\textrm{log}\ g\left ( x \right )$, maka $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$ asalkan $f\left ( x \right )> 0,\ g\left ( x \right )> 0$ serta $h\left ( x \right )> 0$ dan $h\left ( x \right )\neq 1$

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut!
$_{}^{x}\textrm{log}\left ( x+15 \right )\ -\ 2\ _{}^{x}\textrm{log}\ 10\ +\ 1=0$

Jawab:
$_{}^{x}\textrm{log}\left ( x+15 \right )\ -\ 2\ _{}^{x}\textrm{log}\ 10\ +\ _{}^{x}\textrm{log}\ x=0\\ \Leftrightarrow\ _{}^{x}\textrm{log}\left ( x+15 \right )\ +\ _{}^{x}\textrm{log}\ x=\ 2\ _{}^{x}\textrm{log}\ 10\\ \Leftrightarrow\ _{}^{x}\textrm{log}\ x\left ( x+15 \right )=\ _{}^{x}\textrm{log}\ 10^{2}\\ \Leftrightarrow\ _{}^{x}\textrm{log}\ \left ( x^{2}+15x \right )=\ _{}^{x}\textrm{log}\ 100$

(i) Numerus dan bilangan pokok
$h\left ( x \right )> 0$ dan $h\left ( x \right )\neq 1\ \Leftrightarrow\ x> 0$ dan $x\neq 1$
$f\left ( x \right )> 0\ \Leftrightarrow\ x^{2}\ +\ 15x> 0\\ \Leftrightarrow\ x\left ( x+15 \right )> 0$
$\Leftrightarrow\ x< -15$ atau $x>0$
Syarat bilangan pokok dan numerus yang harus dipenuhi adalah $x>0$ dan $x\neq 1$.

(ii) $_{}^{x}\textrm{log}\ \left ( x^{2}+15x \right )=\ _{}^{x}\textrm{log}\ 100$
$\Leftrightarrow\ x^{2}+15x=100\\ \Leftrightarrow\ x^{2}+15x-100=0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x+20 \right )\left ( x-5 \right )=0$
$\Leftrightarrow\ x=-20$ atau $x=5$
Karena $x>0$ dan $x\neq 1$, maka himpunan penyelesaiannya adalah {5}.

Persamaan logaritma berbentuk $A\left \{ _{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right ) \right \}^{2}\ +\ B\left \{ _{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right ) \right \}\ +\ C=0$

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma $A\left \{ _{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right ) \right \}^{2}\ +\ B\left \{ _{}^{a}\textrm{log}\ f\left ( x \right ) \right \}\ +\ C=0$ dengan $a> 0$, $a\neq 1$ serta $f\left ( x \right )> 0$, dapat ditentukan dengan mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk persamaan kuadrat.

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut!
$_{}^{2}\textrm{log}^{2}\ x\ -\ 2\ _{}^{2}\textrm{log}\ x^{2}=5$

Jawab:
$_{}^{2}\textrm{log}^{2}\ x\ -\ 2\ _{}^{2}\textrm{log}\ x^{2}=5\\ \Leftrightarrow\ \left ( _{}^{2}\textrm{log}\ x \right )^{2}-\ 4\ _{}^{2}\textrm{log}\ x\ -\ 5=0\\ \Leftrightarrow\ p^{2}-4p-5=0\\ \Leftrightarrow\ \left ( p-5 \right )\left ( p+1 \right )=0$
$\Leftrightarrow\ p=5$ atau $p=-1$

Untuk $p=-1$
$\Leftrightarrow\ _{}^{2}\textrm{log}\ x=5\\ \Leftrightarrow\ x=2^{5}\\ \Leftrightarrow\ x=32$

Untuk $p=5$
$\Leftrightarrow\ _{}^{2}\textrm{log}\ x=-1\\ \Leftrightarrow\ x=2^{-1}\\ \Leftrightarrow\ x=\frac{1}{2}$

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\left \{ \frac{1}{2},32 \right \}$.


Demikian ulasan materi persamaan dan sifat logaritma, semoga bermanfaat. Bila teman-teman membutuhkan file pdf artikel ini bisa sobat unduh melalui tombol berikut:

Post a Comment for "Persamaan Logaritma, Sifat Beserta Cara Menentukan Penyelesaiannya"